Beräkning av dubbelintegral, variabelbyte

Hej!

Jag vill beräkna integralen: $\iint_D (3x+3y) \,dx\,dy$

Där D är den parallellogram som har hörn i punkterna (0,0), (-3,3), (4,3) samt (1,6).

Ritar jag ut området ser jag att det vore bra att göra ett variabelbyte.

Jag ser enkelt att jag kan sätta $u=0 \leq x+y\leq 7$ Från de två linjerna som utgör 2 av sidorna i figuren.

Men sedan vet jag inte hur jag kan gå vidare? Det blir krångligare ekvationer för de sista 2 linjerna:

$y=(3/2)x+21/4$ samt $y=(3/4)x$

Hej!

Den första linjens ekvation kan skrivas $4y = 6x + 21.$ Den andra linjens ekvation kan skrivas $4y = 3x.$ Med $y = u - x$ blir de två ekvationerna $4u = 10x + 21$ och $4u = 7x,$ som du också kan skriva $28u = 70x + 147$ och $40u = 70x.$ Om du låter $v = 70x$ så har du de två ekvationerna $v = 28u - 147$ och $v = 40u.$

Byt alltså från $(x,y)$ till $(u,v)$ där $u = x+y$ och $v = 70x.$

Albiki

Hej!

Förresten, dina två linjer är inte parallella eftersom deras riktningskoefficienter är olika (3/2 och 3/4). Vilken av dem är den rätta?

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Förresten, dina två linjer är inte parallella eftersom deras riktningskoefficienter är olika (3/2 och 3/4). Vilken av dem är den rätta?
Albiki

ja oj, det ska vara 3/4 på båda :)

Fannywi skrev :
Albiki skrev :
Hej!
Förresten, dina två linjer är inte parallella eftersom deras riktningskoefficienter är olika (3/2 och 3/4). Vilken av dem är den rätta?
Albiki
ja oj, det ska vara 3/4 på båda :)

Jag får ekvationerna 4y=3x samt 4y=3x+21. stämmer det?

Ja. Det är då lämpligt att sätta v = 4y - 3x, som går från 0 till 21.

Albiki skrev :
Ja. Det är då lämpligt att sätta v = 4y - 3x, som går från 0 till 21.

perfekt tack!

Svara

Visa senaste svar