Beräkning av bestämd integral med vinkelomskrivning

Pompan skrev:

Stoppa in lösningen i intervallet:

$\frac{2}{3}{\left[{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{x}{2}\left)\right)\right]}_{\pi /3}^{7\pi /3}$

Här tror jag att jag gör mest fel hehe

$=\frac{2}{3}\left({\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)-{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)\right)$

Du verkar glömma att du har x/2 och inte x.

Dr. G skrev:

Pompan skrev:

Stoppa in lösningen i intervallet:

$\frac{2}{3}{\left[{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{x}{2}\left)\right)\right]}_{\pi /3}^{7\pi /3}$

Här tror jag att jag gör mest fel hehe

$=\frac{2}{3}\left({\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)-{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)\right)$

Du verkar glömma att du har x/2 och inte x.

Menade att skriva /6 och inte /3. Svaret blir ju $\sqrt{3}$ på båda annars och inte $\frac{1}{\sqrt{3}}$som jag fick ut när jag räknade. Så felet borde vara någon annan stans tänker jag. Verkar lösningsgången generellt vettig?

Omskrivningen innehållande:

$\tan(\dfrac{x}{2})$

inför en diskontinuitet vid $x=\pi$ (eftersom $\tan(\frac{\pi}{2})$ är odefinierat). Eftersom man inte får beräkna integraler som en differens av primitiva funktionsvärden ifall integranden är diskontinuerlig på det inre av intervallet får vi dela upp i två integraler, en från $\pi/3$ till $\pi$ och en från $\pi$ till $7\pi/3$. Observera att på den första integralen får du ta ett gränsvärde när $x\to\pi^-$ och i den andra när $x\to\pi^+$ när du beräknar de primitiva funktionsvärdena.

Pompan skrev:

Upg: beräkna ${\int }_{\pi /3}^{7\pi /3}\frac{dx}{5-4\cos x}$

Resonerar att enklaste sättet att få ut integralen är med hjälp av omskrivningar från trig-ettan:

$\cos x=\cos \left(\frac{2x}{2}\right) =\frac{{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)-{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}$

Ser okej ut för mig.

och variabelbyten:

$$\begin{gathered} z=\tan \left(\frac{x}{2}\right) \\ \frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}(1+ta{n}^2(\frac{x}{2}\left)\right) \iff dx=\frac{2dz}{1+z^2} \end{gathered}$$

Jajemen!

$\Rightarrow \frac{1-{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}{1+{\tan }^2\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)} = \frac{1-z^2}{1+z^2}\Rightarrow$

Inga problem såhär långt.

Tycker det verkar enklare att räkna ut den generaliserade integralen först och därefter byta tillbaka variabelbytena. Får annars t ex att integralen går från $\frac{1}{\sqrt{3}}$ till $\frac{1}{\sqrt{3}}$för z, vilket inte alls verkar rimligt??

Nu får man se upp när alla bitar ska sättas samman...

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{5-4\cos x}=\int \frac{{\displaystyle \frac{2dz}{1+z^2}}}{5-4\left({\displaystyle \frac{1-z^2}{1+z^2}}\right)}=\int \frac{2dz}{(5-4({\displaystyle \frac{1-z^2}{1+z^2}}\left)\right)(1+z^2)}= \\ 2\int \frac{dz}{5+5z^2-4+4z^2}=2\int \frac{{\displaystyle dz}}{1+9z^2}=2\int \frac{dz}{1+(3z{)}^2} \end{gathered}$$

Helt okej sammanfogning.

Variabelbyte igen:

$$\begin{gathered} u=3z \\ \frac{du}{dz}=3\iff \frac{du}{3}=dz \end{gathered}$$

Ett enkelt byte ...

$\frac{2}{3}\int \frac{du}{1+u^2}=\frac{2}{3}{\tan }^{-1}u+C=\frac{2}{3}{\tan }^{-1}3z+C=\frac{2}{3}{\tan }^{-1}\left(3\tan \frac{x}{2}\right)+C$

ger integralen (konstanten är överflödig då du ändå ska använda integralen för att beräkna en bestämd integral)

    $\displaystyle\frac{2}{3}\arctan3\tan\frac{x}{2}$ (samma resultat som dig fast jag föredrar att skriva $\arctan$ istället för $tan^{-1}$)

Stoppa in lösningen i intervallet:

$\frac{2}{3}{\left[{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{x}{2}\left)\right)\right]}_{\pi /3}^{7\pi /3}$

Notera att integrationsområdet innehåller en "förbjuden punkt" där tangensfunktionen $\tan (x/2)$ är odefinierad: punkten $x=\pi$. Du måste därför splittra den bestämda integralen i en summa av två delar: en integral över $\pi/3 \leq x < \pi-n$ och en integral över $\pi+n < x \leq \pi+4\pi/3$ där $n$ är ett litet positivt tal. Studera vad som händer med summan när $n$ närmar sig noll; det bör ge dig den sökta integralen.

Här tror jag att jag gör mest fel hehe

$=\frac{2}{3}\left({\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)-{\tan }^{-1}\left(3\tan \right(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\left)\right)\right)$

Eller snarare sagt, jag vet hur inte jag ska räkna ut denna. Svaret är $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Det problem jag har (i tankegången iaf) är att $\tan \left(\frac{7\pi }{3}\right)=\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

vilket gör att jag får 0 inom parentesen => 2/3*0 = 0 $\ne$$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Har jag slarvat eller missat något koncept när det gäller t ex vinklar?

Ah juste, den är ju generaliserad i $\frac{\pi }{2}$.

Nu fick jag ut rätt svar! Jag är dock osäker på redovisningen, har en tendens att få avdrag på den haha - ser den korrekt ut?

Tack!

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}{\left[arc\tan \left(3\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{7\pi }{3}}= \\ \frac{2}{3}\left({\left[arc\tan \left(3\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]}_{\frac{{\pi }^{+}}{2}}^{\frac{7\pi }{3}} + {\left[arc\tan \left(3\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]}_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{\pi }^{-}}{2}}\right)= \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}\left(arc\tan \left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}-arc\tan \left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right)\right)= \\ \frac{2}{3}\left(\frac{\pi }{3}+\pi -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3} \end{gathered}$$

Du har blandat ihop det lite grann. Diskontinuiteten ligger vid $x=\pi$ (inte $x=\frac{\pi}{2}$!) och då delar vi upp i två integraler:

$\displaystyle\int_\frac{\pi}{3}^\frac{7\pi}{3}\frac{1}{5-4\cos(x)}\ dx=\int_\frac{\pi}{3}^{\pi^-}\frac{1}{5-4\cos(x)}\ dx+\int_{\pi^+}^\frac{7\pi}{3}\frac{1}{5-4\cos(x)}\ dx=$

Med vår primitiv $F(x)$ beräknas sedan integralerna till:

$=\lim_{x\to\pi^-}\left(F\left(x\right)\right)-F(\dfrac{\pi}{3})+F(\dfrac{7\pi}{3})-\lim_{x\to\pi^+}\left(F\left(x\right)\right)$

Där

$\lim_{x\to\pi^+}\left(F\left(x\right)\right)=-\dfrac{\pi}{3}$

och

$\lim_{x\to\pi^-}\left(F\left(x\right)\right)=\dfrac{\pi}{3}$

Du bör även lägga till en förklarande mening i din lösning om varför du delar upp integralen i två.

Typiskt slarvfel, räknade med $x=\pi$ när jag gjorde uppgiften och skrev även ut den korrekt när jag gjorde den för hand (skrev av den fel på datorn).

Något i stil med "Integral ej kontinuerlig i $x =\pi$, delar upp den i den punkten" ?

Bör man ha med $\frac{lim}{x\to {\pi }^{\pm }}$vid uträkningen eller är det underförstått då man skriver t ex ${\int }_{}^{{\pi }^{-}}$?

Du bör ha med det för tydlighet. Det är nog inte underförstått att 5^- är samma sak som gränsvärdet då variabeln går mot 5 ifrån vänster på tal linjen.