Beräkning av avståndet mellan punkt och linje

Hej igen!

Jag ska räkna ut avståndet mellan en punkt och en linje (3D). När jag kollar i min matteboks exempel så har man beräknat en skillnadsvektor mellan en punkt på linjen och punkten i rummet. Sedan har man projicerat denna skillnadsvektor på linjens riktningsvektor. Så långt hänger jag med. Sedan, för att få fram den vinkelräta linjen som går från linjen till punkten, så har de valt att subtrahera projektionen från skillnadsvektorn. Här hänger jag inte med. Hur kan skillnadsvektorn - projektionen bli den vinkelräta linje som går genom punkten och den givna linjen?

Hej

Har du ritat upp en figur över hur det kan se ut?

Om vektorn $\overset{⇀}{w}$ är din "skillnadsvektor" och $\overset{⇀}{r}$ är linjens riktningsvektor så blir projektionen $P r o j {}_{\overset{⇀}{r}}(\overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ ,

Där $\overset{⇀}{u}$ utgör den andra komposanten vilket medför att $\overset{⇀}{w} = \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{u} \Leftrightarrow \overset{⇀}{w} - \overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{u}$ . Eftersom $P r o j {}_{\overset{⇀}{r}}(\overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ så är $\overset{⇀}{u} ⊥ \overset{⇀}{v}$ .

jonis10 skrev:
Hej
Har du ritat upp en figur över hur det kan se ut?
Om vektorn $\overset{⇀}{w}$ är din "skillnadsvektor" och $\overset{⇀}{r}$ är linjens riktningsvektor så blir projektionen $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ ,
Där $\overset{⇀}{u}$ utgör den andra komposanten vilket medför att $\overset{⇀}{w} = \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{u} \Leftrightarrow \overset{⇀}{w} - \overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{u}$ . Eftersom $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ så är $\overset{⇀}{u} ⊥ \overset{⇀}{v}$ .

Det fanns en skiss i boken men den gjorde mig inte mycket klokare.

Men det bildade i alla fall en rätvinklig triangel där skillnadsvektorn W då blev hypotenusan och R blev en katet.

Den vinkelräta linje som ger det kortaste avståndet mellan punkten och linjen är då den andra okända kateten.

Går det att förklara med mer ord hur skillnadsvektorn minus projektionen kan bli det kortaste avståndet?

qazedc skrev:
jonis10 skrev:
Hej
Har du ritat upp en figur över hur det kan se ut?
Om vektorn $\overset{⇀}{w}$ är din "skillnadsvektor" och $\overset{⇀}{r}$ är linjens riktningsvektor så blir projektionen $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ ,
Där $\overset{⇀}{u}$ utgör den andra komposanten vilket medför att $\overset{⇀}{w} = \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{u} \Leftrightarrow \overset{⇀}{w} - \overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{u}$ . Eftersom $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ så är $\overset{⇀}{u} ⊥ \overset{⇀}{v}$ .
Det fanns en skiss i boken men den gjorde mig inte mycket klokare.
Men det bildade i alla fall en rätvinklig triangel där skillnadsvektorn W då blev hypotenusan och R blev en katet.
Den vinkelräta linje som ger det kortaste avståndet mellan punkten och linjen är då den andra okända kateten.
Går det att förklara med mer ord hur skillnadsvektorn minus projektionen kan bli det kortaste avståndet?

Om vi kallar skillnadsvektorn för $\vec{w}$ och linjens riktningsvektor för $\vec{r}$ ser situationen ut ungefär så här (nu ritar jag i 2D, men principen är densamma):

Det vi är ute efter är absolutbeloppet av den gula vektorn. Vi ser att den gula vektorn går från spetsen av projektionsvektorn till spetsen av skillnadsvektorn. Jag antar att du vet att om man subtraherar två vektorer så får man en vektor som pekar mellan dem, och det är precis vad vi kan använda i det här fallet. Om vi subtraherar $\vec{w}$ med $\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})$ får vi en vektor som pekar mellan skillnadsvektorn och projektionsvektorn, alltså den gula vektorn. Eftersom det bara är vektorns absolutbelopp vi är ute efter spelar det ingen roll om vektorn pekar mot den röda spetsen eller den gröna spetsen. Vi kan alltså använda både $\vec{w}-\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})$ och $\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})-\vec{w}$ .

AlvinB skrev:
qazedc skrev:
jonis10 skrev:
Hej
Har du ritat upp en figur över hur det kan se ut?
Om vektorn $\overset{⇀}{w}$ är din "skillnadsvektor" och $\overset{⇀}{r}$ är linjens riktningsvektor så blir projektionen $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ ,
Där $\overset{⇀}{u}$ utgör den andra komposanten vilket medför att $\overset{⇀}{w} = \overset{⇀}{v} + \overset{⇀}{u} \Leftrightarrow \overset{⇀}{w} - \overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{u}$ . Eftersom $P r o j (_{\overset{⇀}{r}} \overset{⇀}{w)} = \overset{⇀}{v}$ så är $\overset{⇀}{u} ⊥ \overset{⇀}{v}$ .
Det fanns en skiss i boken men den gjorde mig inte mycket klokare.
Men det bildade i alla fall en rätvinklig triangel där skillnadsvektorn W då blev hypotenusan och R blev en katet.
Den vinkelräta linje som ger det kortaste avståndet mellan punkten och linjen är då den andra okända kateten.
Går det att förklara med mer ord hur skillnadsvektorn minus projektionen kan bli det kortaste avståndet?
Om vi kallar skillnadsvektorn för $\vec{w}$ och linjens riktningsvektor för $\vec{r}$ ser situationen ut ungefär så här (nu ritar jag i 2D, men principen är densamma):
Det vi är ute efter är absolutbeloppet av den gula vektorn. Vi ser att den gula vektorn går från spetsen av projektionsvektorn till spetsen av skillnadsvektorn. Jag antar att du vet att om man subtraherar två vektorer så får man en vektor som pekar mellan dem, och det är precis vad vi kan använda i det här fallet. Om vi subtraherar $\vec{w}$ med $\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})$ får vi en vektor som pekar mellan skillnadsvektorn och projektionsvektorn, alltså den gula vektorn. Eftersom det bara är vektorns absolutbelopp vi är ute efter spelar det ingen roll om vektorn pekar mot den röda spetsen eller den gröna spetsen. Vi kan alltså använda både $\vec{w}-\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})$ och $\text{proj}_{\vec{r}}(\vec{w})-\vec{w}$ .

Ah ok, har inte läst någon fysik eller matte c-kurser på gymnasiet så hade inte koll på att en vektor minus en annan vektor blev en vektor mellan dem. Tack för hjälp!

Svara

Visa senaste svar