Beräkning av arean hos område inneslutet av två kurvor

Jag har arbetat med en uppgift där jag ska bestämma för vilket värde av $c>0$ är arean av området inneslutet av kurvorna $y=c-2 x^2$ och $y=2 x^2-c$ lika med $\frac{16}{3}$. Jag har följt den föreslagna lösningen men fastnar vid ett visst steg där uträkningen inte direkt är intuitiv för mig.

Uppgiften lyder som följer:

"För vilket värde av $c>0$ är arean av området inneslutet av kurvorna $y=c-2 x^2$ och $y=2 x^2-c$ lika med $\frac{16}{3}$?"

Det ges att kurvorna skär varandra där $c-2 x^2=2 x^2-c$, vilket ger $x= \pm \sqrt{\frac{c}{2}}$. Vidare ges arean $A(c)$ innesluten av kurvorna för ett givet värde på $c$ av:$A(c) = 4\left[c x-\frac{2}{3} x^3\right]_0^{\sqrt{\frac{c}{2}}} = 4 c \sqrt{\frac{c}{2}}-\frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

Slutligen konstateras att detta är lika med:

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} c^{\frac{3}{2}}$

När jag försöker följa uträkningen i detalj, ser jag att vi har:

$4 c \sqrt{\frac{c}{2}} - \frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

Men jag har svårt att se hur detta förenklas till:

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} c^{\frac{3}{2}}$

Mitt försök att lösa detta ledde mig till en förvirring kring förenklingen av termerna och hur exakt denna likhet uppnås. Såhär har jag räknat:

$4 c \sqrt{\frac{c}{2}}$

Vi kan skriva om $\sqrt{\frac{c}{2}}$ som $\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$, vilket ger oss:

$4 c\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Detta kan sedan förenklas genom att kombinera exponenterna ( $c^1$ och $c^{\frac{1}{2}}$ ):

$4 \cdot \frac{c^{1+\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}=4 \cdot \frac{c^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}}=4 \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{2} \cdot c^{\frac{3}{2}}$

För andra termen:

$-\frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

Här kan vi direkt se att $\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$ är $c^{\frac{3}{2}}$ multiplicerat med $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}$

$-\frac{8}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}=-\frac{8}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Förenklar ytterligare:

$-\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}=-\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}$

Kombinerar man termerna sedan får man:

$2 \sqrt{2} \cdot c^{\frac{3}{2}}-\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}$

Vi kan faktorisera ut $c^{\frac{3}{2}}$ och kombinera koefficienterna:

$\left(2 \sqrt{2}-\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) \cdot c^{\frac{3}{2}}$

För att kombinera de två termerna, gör vi dem över en gemensam nämnare:

$\left(\frac{6 \sqrt{2}}{3}-\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) \cdot c^{\frac{3}{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}$