Beräkna y`

Corokia cotoneaster skrev:

Hej hej! :)

Nu har jag kört fast på en uppgift som lyder:

 

Beräkna  y ’(2)  om:                                                                                                                  

$y = 2(3 - 2x{)}^3$

Det jag tror är problemet för mig är att jag inte får klart för mig hur jag ska börja, jag börjar liksom tänka att jag kör på produktregeln men när jag försöker börja blir jag bara kluven på hur vidare jag ska/eller inte multiplicera ner den upphöjda 3:an. Tror jag bara gör att tjorvigare för mig.

Tacksam för förklarningar :)

Du kan använda produktregeln (du får då använda den i flera steg), men det är enklare att använda kedjeregeln om du har lärt dig den.

Gör gärna på båda sätten så du ser att det blir samma resultat och att kedjeregeln är mycket lättare.

Produktregeln går, eftersom du har (3-2x)(3-2x)(3-2x), men är inte så kul. Använd kedjeregeln i stället, alltså derivera $2y^3$ där y = 3-2x.

Måste faktiskt säga att jag är osäker på kedjeregeln, jag har gjort den men nu vet jag liksom inte hur jag ska börja :(

Ett tips om du vill använda produktregeln:

Sätt nu $f=g=h=3-2x$

Du kan då skriva $y=2(3-2x)^3$ som $y=2\cdot f\cdot (g\cdot h)$

Enligt produktregeln så är då

$y'=2\cdot (f\cdot (g\cdot h)'+f'\cdot (g\cdot h))$

Enligt produktregeln så är $(g\cdot h)'=g\cdot h'+g'\cdot h$

Det betyder att

$y'=2\cdot (f\cdot (g\cdot h'+g'\cdot h)+f'\cdot (g\cdot h))$

$y'=2\cdot (f\cdot g\cdot h'+f\cdot g'\cdot h+f'\cdot g\cdot h)$

Använd nu att $f'=g'=h'=-2$, sätt in i uttrycket och förenkla.

Corokia cotoneaster skrev:

Måste faktiskt säga att jag är osäker på kedjeregeln, jag har gjort den men nu vet jag liksom inte hur jag ska börja :(

Du deriverar $2y^3$ som om y inte bestod av något annat. Sedan multiplicerar du med y' där y = 3-2x.

Corokia cotoneaster skrev:

Måste faktiskt säga att jag är osäker på kedjeregeln, jag har gjort den men nu vet jag liksom inte hur jag ska börja :(

 I detta avsnitt tas ett exempel som är väldigt likt din funktion.

Yngve skrev:

Ett tips om du vill använda produktregeln:

Sätt nu $f=g=h=3-2x$

Du kan då skriva $y=2(3-2x)^3$ som $y=2\cdot f\cdot (g\cdot h)$

Enligt produktregeln så är då

$y'=2\cdot (f\cdot (g\cdot h)'+f'\cdot (g\cdot h))$

Enligt produktregeln så är $(g\cdot h)'=g\cdot h'+g'\cdot h$

Det betyder att

$y'=2\cdot (f\cdot (g\cdot h'+g'\cdot h)+f'\cdot (g\cdot h))$

$$y'=2\cdot (f\cdot g\cdot h'+f\cdot g'\cdot h+f'\cdot g\cdot h)$$

Använd nu att $f'=g'=h'=-2$, sätt in i uttrycket och förenkla.

 Det jag gör vet jag är fel, när jag ska derivera $(3-2x{)}^3$ ska jag plocka ned 3:an i parantesen eller ska det bara bli $(-2{)}^3$? 

Corokia cotoneaster skrev:

 Det jag gör vet jag är fel, när jag ska derivera $(3-2x{)}^3$ ska jag plocka ned 3:an i parantesen eller ska det bara bli $(-2{)}^3$? 

 Om du vill använda kedjeregeln så ska du se uttrycket som en sammansatt funktion, där den ytte funktionen är $y=2z^3$ och den inre funktionen är $z=(3-2x)$.

Då blir derivatan av y med avseende på x lika med derivatan av y med avseende på z multiplicerat med derivatan av z med avseende på x.

Dvs $y'=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$

Har du läst avsnittet jag länkade till tidigare?

Yngve skrev:

Corokia cotoneaster skrev:

 Det jag gör vet jag är fel, när jag ska derivera $(3-2x{)}^3$ ska jag plocka ned 3:an i parantesen eller ska det bara bli $(-2{)}^3$? 

 Om du vill använda kedjeregeln så ska du se uttrycket som en sammansatt funktion, där den ytte funktionen är $y=2z^3$ och den inre funktionen är $z=(3-2x)$.

Då blir derivatan av y med avseende på x lika med derivatan av y med avseende på z multiplicerat med derivatan av z med avseende på x.

Dvs $y'=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}$

Har du läst avsnittet jag länkade till tidigare?

 Jag får det till:

$$\begin{gathered} Yttre= 2z^3 \\ Inre= (3-2x) \\ Kedjerege\ln = f´\left(g\right(x\left)\right) * g´\left(x\right) \\ y = 2(3-2x{)}^3 \\ y´= 6z^2 (3-2x) * (-2) \\ y´= -12(3-2x{)}^2 \end{gathered}$$

Laguna skrev:

Corokia cotoneaster skrev:

Måste faktiskt säga att jag är osäker på kedjeregeln, jag har gjort den men nu vet jag liksom inte hur jag ska börja :(

Du deriverar $2y^3$ som om y inte bestod av något annat. Sedan multiplicerar du med y' där y = 3-2x.

Jag införde variabeln y utan att notera att uttrycket hette y från början. Det var inte meningen. Jag borde ha skrivit y = 2z^3, där z = 3-2x.

Corokia cotoneaster skrev:

 Jag får det till:

$$\begin{gathered} Yttre= 2z^3 \\ Inre= (3-2x) \\ Kedjerege\ln = f´\left(g\right(x\left)\right) * g´\left(x\right) \\ y = 2(3-2x{)}^3 \\ y´= 6z^2 (3-2x) * (-2) \\ y´= -12(3-2x{)}^2 \end{gathered}$$

Sista raden är rätt.

Näst sista raden är inte rätt.

Det gäller att 

$\frac{dy}{dz}=2\cdot 3z^2=6(3-2x)^2$

och att

$\frac{dz}{dx}=-2$

Alltså är $\frac{dy}{dz}·\frac{dz}{dx}=6(3-2x{)}^2·(-2)=-12(3-2x{)}^2$

Okej, ska fixa det! Tack för all hjälp :)

Det allra enklaste sättet att lösa den här uppgiften skulle kunna vara att multiplicera ihop de tre parenteserna med varandra, innan man deriverar.

Smaragdalena skrev:

Det allra enklaste sättet att lösa den här uppgiften skulle kunna vara att multiplicera ihop de tre parenteserna med varandra, innan man deriverar.

 Ja de ska jag testa, jag fick iaf till -12 när jag satte y´(2).