Beräkna x, y och z komponenterna i ett tredimensionellt plan

Hej, jag sitter med denna uppgift just nu:

För att lösa detta beräknar jag alla x, y och z komponenterna för denna uppgift. Såhär valde jag att lösa den:

$$\begin{gathered} \overline{AB}\times S_b+\overline{AC}\times S_c+\overline{AD}\times S_d+mgL\left(e_x\right)-mg2L\left(e_y\right)=0 \\ \sum _{}{M}_A = 0 \\ (2L,0,0)\times \frac{S_b}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)+(2L,4L,0)\times \frac{S_c}{\sqrt{17}}(-2,-3,2)+(0,4L,0)\times \frac{S_d}{\sqrt{2}}(0,1,1)+mgL\left(e_x\right)-mg2L\left(e_y\right)=0 \\ \sum _{}{M}_x = 0 : \frac{S_c}{\sqrt{17}}*8L + \frac{S_d}{\sqrt{2}}*4L-mg2L = 0 \\ \sum _{}{M}_y = 0 : \frac{S_b}{\sqrt{3}}*(-2L) - \frac{S_c}{\sqrt{17}}*4L+mgL = 0 \\ \sum _{}{M}_z = 0 : \frac{S_b}{\sqrt{3}}*(-2L) + \frac{S_c}{\sqrt{17}}*2L = 0 \end{gathered}$$

Grupperade alla komponenter för att jag skulle få detta ekvationssystem, härifrån kan man då fånga upp linkrafterna. Däremot, så ser jag att de gjort på ett helt annat sätt i lösningsförslaget:

Det jag undrar är om jag har gjort fel i min uträkning eller om detta bara är en alternativ lösningsmetod? Isåfall vart har jag gjort fel? Har räknat om Sc komponenterna ett antal gånger och får samma svar. Förstår inte hur Sc kan få två z komponenter?

Tack!