Beräkna volymen T(P)

A består redan av tre vektorer! 

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ \underset{v_1}{\underbrace{1}}& \underset{v_2}{\underbrace{-1}}& \underset{v_3}{\underbrace{0}}\end{array}\right]$

Men tänk såhär istället, så går det fortare: Matrisen A förändrar enhetskuben till den figur som spänns upp av vektorerna i A. Hur mycket förändras enhetskubens volym av detta? :)

Smutstvätt skrev:

A består redan av tre vektorer! 

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ \underset{v_1}{\underbrace{1}}& \underset{v_2}{\underbrace{-1}}& \underset{v_3}{\underbrace{0}}\end{array}\right]$

Men tänk såhär istället, så går det fortare: Matrisen A förändrar enhetskuben till den figur som spänns upp av vektorerna i A. Hur mycket förändras enhetskubens volym av detta? :)

Oj jag har ingen aning faktiskt.men jag gissar på att eftersom vi fick volymen i a) så bör vi multiplicera  den med kolonvektorerna i matris A ? Sen kan vi använda volym formeln för parallellpiped ?

Nja, inte riktigt. Vad har determinanten för geometrisk koppling? Om vi får reda på determinanten, vad får vi veta om en matris? :)

Smutstvätt skrev:

Nja, inte riktigt. Vad har determinanten för geometrisk koppling? Om vi får reda på determinanten, vad får vi veta om en matris? :)

Då får vi veta att matrisen är linjärt oberoende om detA är nollskild. Om determinaten är 0 så är A ej linjärt oberoende sen är det krav på att A ska vara inverterbar. Kolonnerna ska vara linjärt oberoende, unik lösning osv. Men varför behöver vi determinanten för att svara på uppgiften ?

Det stämmer, men det är inte riktigt en geometrisk koppling. Determinanten av en matris berättar hur stor förändringen är i area/volym/hypervolym/etc. när förändringen appliceras på en enhetskvadrat/-kub/osv. 

Så om det(A) är 5, innebär det att enhetskubens volym ökar med faktorn 5. Om vi har volymen från (a), och multiplicerar den med determinanten av matrisen A, får vi den nya volymen. :)

Smutstvätt skrev:

Det stämmer, men det är inte riktigt en geometrisk koppling. Determinanten av en matris berättar hur stor förändringen är i area/volym/hypervolym/etc. när förändringen appliceras på en enhetskvadrat/-kub/osv. 

Så om det(A) är 5, innebär det att enhetskubens volym ökar med faktorn 5. Om vi har volymen från (a), och multiplicerar den med determinanten av matrisen A, får vi den nya volymen. :)

Okej,  jag hänger ej med på varför vi måste multiplicera volymen från A) med det(A) när du säger precis att determinanten ökar med faktor 5? Vi får ju en determinanten av matris A som borde säga oss att matris A ökade med enhetsvolymen

Just siffran 5 var ett exempel, men poängen är densamma. Anledningen till att vi behöver multiplicera med volymen är att vi söker $T(P)$, där P är volymen från (a). T är den linjära transformation som ges av matrisen A. :)

Smutstvätt skrev:

Just siffran 5 var ett exempel, men poängen är densamma. Anledningen till att vi behöver multiplicera med volymen är att vi söker $T(P)$, där P är volymen från (a). T är den linjära transformation som ges av matrisen A. :)

Så när vi bestämmer det(A) så har vi linjära transformationen? Är det som basbyte ungefär att P[x]B=[x]C?

Vi vet vad den linjära transformationen har för effekt, ja. Det är inte som ett basbyte dock. :)

Smutstvätt skrev:

Vi vet vad den linjära transformationen har för effekt, ja. Det är inte som ett basbyte dock. :)

Okej vad har den för effekt?

Effekten av den linjära transformationen är lika med determinanten av transformationsmatrisen. :)

Smutstvätt skrev:

Effekten av den linjära transformationen är lika med determinanten av transformationsmatrisen. :)

Tack! Ska komma ihåg detta. Min räddning inför algebra tentan!