beräkna volymen av rotationskropp (envariabelanalys) (Matematik/Universitet)

Har du ritat någon figur?

Micimacko skrev:
Har du ritat någon figur?

ja men det hjälper mig inte med vilken formel jag ska använda eller om den formel jag använde är rätt

Nej du kan inte använda samma formel. Du behöver se till att din integrand stämmer med skivornas verkliga utseende.

Visa din figur så att vi ser att du har förstått hur rotationskroppen ser ut.

Visa även hur du uppfattar skivornas geometri, dvs vilken form de har.

Yngve skrev:
Nej du kan inte använda samma formel. Du behöver se till att din integrand stämmer med skivornas verkliga utseende.
Visa din figur så att vi ser att du har förstått hur rotationskroppen ser ut.
Visa även hur du uppfattar skivornas geometri, dvs vilken form de har.

kan jag använda formeln $V = π \int_{0}^{1} ((1 - x$ ²)-1)^2 dx istället för att rita figurer?

Maremare skrev:

kan jag använda formeln $V = π \int_{0}^{1} ((1 - x$ ²)-1)^2dx istället för att rita figurer?

Du behöver inte rita figur om du inte vill.

Det viktiga är att du använder en lösningsmetod som fungerar och som du kan förklara.

Jag skulle aldrig ge mig på att lösa denna uppgift utan att rita figur, men det kan ju vara för att min hjärna fungerar på det sättet.

Men pröva!

Kan du förklara för oss hur du kommit fram till just den integralen?

Yngve skrev:
Maremare skrev:
kan jag använda formeln $V = π \int_{0}^{1} ((1 - x$ ²)-1)^2dx istället för att rita figurer?
Du behöver inte rita figur om du inte vill.
Det viktiga är att du använder en lösningsmetod som fungerar och som du kan förklara.
Jag skulle aldrig ge mig på att lösa denna uppgift utan att rita figur, men det kan ju vara för att min hjärna fungerar på det sättet.
Men pröva!
Kan du förklara för oss hur du kommit fram till just den integralen?

jag ritar gärna men har en tenta om några dagar så jag hinner inte lägga massa timmar på att lära mig rita när jag kan lösa massa uppgifter även om det gynnar mig i längden så får jag lära mig det sen i så fall

jag har inte kommit fram till den såg en formel på wikipedia för finns ingen på google eller youtube som har löst en sån här uppgift även inte min bok har löst denna så undrar varför den har kommit på denna uppgift, hur som helst

jag såg en formel på wikipedia där dom subtraherade linjen y = c och i detta fall är y = 1 så subtraherade den

om det finns någonstans att lösa om detta gör jag det mer än gärna men det framgår ej någonstans som jag kommit åt därav svårt för mig att lösa den

Vill du hellre chansa på att en formel du har hittat på Wikipedia funkar på just ditt fall än lära dig att rita, så är det upp till dig.

Smaragdalena skrev:
Vill du hellre chansa på atten formel du har hittat på Wikipedia funkar på just ditt fall än lära dig att rita, så är det upp till dig.

jag vill ej chansa därav frågar jag här på forumet, jag har ej frågat hur man ritar upp denna utan hur man ska tänka då det ska rotera kring en linje istället för x-axeln, det ska väl kunna gå att förklara något utan att rita även om rita i vissa fall är enklare?

om jag ej kan rita och det går att förklara denna på annat sätt än att rita blir jag inte klokare av denna uppgift om jag får tips om att rita

Detta är en uppgift där det är tänkt att man ska lära sig nya saker.

För att lösa denna uppgiften måste du rita, finns ingen chans annars. Tanken med min metod är att arbeta med inversen av funktion f(x)=1-x^2

Diagram av f(x)=1-x^2, y=1, och lite hjälplinjer:

Notera att området som ska roteras ligger 1:a kvadranten (både x och y är positiva). Svårt att arbeta med den här funktionen. Bättre att arbeta med inversen.

Inversen:

$y = 1 - x^{2} x^{2} = 1 - y x = \sqrt{1 - y}$

Det negativa uttrycket behövs inte eftersom vi vet att både x och y ska vara positiva. Dessutom vet vi att området som ska roteras uppfyller $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ . Rita nu funktionen $x = \sqrt{1 - y}$ samt linjen y=1 i ett diagram med x som vertikal axel och y som horisontell axel.

Nu ligger området bättre till och vi kan använda skalformeln för att räkna ut området:

$A_{c} = 2 πr * h dV = 2 πr * h * dy dV = 2 πr * \sqrt{1 - y} * dy$

Försök och tänka ut vad r ska vara.

Kan du formulera en metod punkt för punkt som fungerar för alla rotationsvolymer? I så fall kan du lösa alla sådana uppgifter utan att rita.

Jag förstår inte, du är alltså villig att lägga en massa tid på att leta efter liknande uppgifter på Youtube och Google, och att lägga tid på att leta efter formler på Wikipedia, men inte att lägga tid på att lära dig att rita?

Problemet med volymberäkning av rotationskroppar är att det endast är ett fåtal uppgifter som låter sig lösas med hjälp av en standardiserad algoritm med färdiga formler.

Javisst, du kan lära dig utantill hur du löser specifika uppgifter, men sannolikheten att du på tentan får en exakt likadan uppgift som någon av de du lärt dig utantill är ganska liten.

Och hur ska Wikipedia, Google och Youtube hjälpa dig när du sitter på tentan med penna, papper, formelsamling och grafräknare?

=========

Nåväl, jag ska börja med att försöka förklara denna på ett annat sätt än att rita.

Skivorna har ett hål i mitten. Det finns alltså en yttre radie $r_y$ och en inre radie $r_i$ .

Hålet i mitten varierar i storlek, från $r_i=0$ vid $x = 0$ till $r_i=1$ vid $x = 1$ .

Radieändringen följer kurvan till $y=1-x^2$ .

Skivornas yttre radie är konstant och lika med 1 över hela intervallet.

Kroppen ser alltså ut som en cylindrisk skål där väggarnas tjocklek varierar från 0 vid "öppningen" till 1 vid "botten".

En skiva vid position $x$ har alltså arean "helskiva" minus "hål", vilket blir $A(x)=\pi r_y^2-\pi r_i^2=\pi(r_y^2-r_i^2)$ .

Eftersom $r_y=1$ och $r_i=1-(1-x^2)=x^2$ så blir alltså varje skivas area $A(x)=\pi (1^2-(x^2)^2)=\pi (1-x^4)$ .

Hängde du med?

Yngve skrev:
Jag förstår inte, du är alltså villig att lägga en massa tid på att leta efter liknande uppgifter på Youtube och Google, och att lägga tid på att leta efter formler på Wikipedia, men inte att lägga tid på att lära dig att rita?
Problemet med volymberäkning av rotationskroppar är att det endast är ett fåtal uppgifter som låter sig lösas med hjälp av en standardiserad algoritm med färdiga formler.
Javisst, du kan lära dig utantill hur du löser specifika uppgifter, men sannolikheten att du på tentan får en exakt likadan uppgift som någon av de du lärt dig utantill är ganska liten.
Och hur ska Wikipedia, Google och Youtube hjälpa dig när du sitter på tentan med penna, papper, formelsamling och grafräknare?
=========
Nåväl, jag ska börja med att försöka förklara denna på ett annat sätt än att rita.
Skivorna har ett hål i mitten. Det finns alltså en yttre radie $r_y$ och en inre radie $r_i$ .
Hålet i mitten varierar i storlek, från $r_i=0$ vid $x = 0$ till $r_i=1$ vid $x = 1$ .
Radieändringen följer kurvan till $y=1-x^2$ .
Skivornas yttre radie är konstant och lika med 1 över hela intervallet.
Kroppen ser alltså ut som en cylindrisk skål där väggarnas tjocklek varierar från 0 vid "öppningen" till 1 vid "botten".
En skiva vid position $x$ har alltså arean "helskiva" minus "hål", vilket blir $A(x)=\pi r_y^2-\pi r_i^2=\pi(r_y^2-r_i^2)$ .
Eftersom $r_y=1$ och $r_i=1-(1-x^2)=x^2$ så blir alltså varje skivas area $A(x)=\pi (1^2-(x^2)^2)=\pi (1-x^4)$ .
Hängde du med?

okej ska försöka förklara vad jag gör när jag stöter på ett område jag inte känner till, som tex beräkna volym när något rotera kring en linje

jag kollar i min lärobok, kollar i föreläsningsanteckningar, kollar lärarens anteckningar kollar övningens anteckningar, hittar jag ingenstans så googlar jag på problemet och ser om det finns någon teori som jag har missat. jag börjar alltså inte med att rita när jag inte ens kan rita, och jag börjar inte med att lära mig rita om jag inte ens vet om ritningen kommer att lösa mitt problem.

när jag inte visste hur man beräkna rotationsvolymer kring x eller y-axels så började jag inte med att rita utan jag läste teorin och så fanns en former som de har härlett och den använder jag sen för att lösa likande problem, det går alltså att lösa saker utan att rita. om det däremot är ett område där man måste rita för att lösa det så lär jag mig det såklart men jag börjar inte med att lära mig något som jag inte ens vet om det kommer hjälpa mig med berörd uppgift

hittar jag inte svaret någonstans efter att jag gjort ovan så skriver jag ett inlägg här och jag upplever att det är en naturlig fråga att fråga om det går att lösa något utan att rita eftersom att det går utmärkt med många andra uppgifter

====

Nåväl, tack för tipsen jag försöka förstå

OK Fair enough.

Läs de tips du fått och se om de hjälper.

Återkom gärna med en massa frågor.

Rotationskroppar är lite knepiga innan man har vant sig.

Våga chansa och testa på sånna här uppgifter, många trick från typ högstadiegeometri funkar. Man kan slippa mycket krångel genom att flytta runt saker till där man vill ha dem också. Tex såhär

Jag fick 4π/5 och gjorde ungefär så här:

Volym av skuggade del= volym av cylindern-volym av inre delen. Tänker jag rätt?

Nox_M skrev:
Jag fick 4π/5 och gjorde ungefär så här:
Volym av skuggade del= volym av cylindern-volym av inre delen. Tänker jag rätt?

svaret och metoden är rätt.