36 svar
1882 visningar
ingetmattesnille 49
Postad: 11 jul 2022 15:38

Beräkna volymen av den rotationskropp i figuren

Den kurva som roterar runt x-axeln är y=x^2/4 och gränserna är x = 0 och x = 2.

Jag har fastnat totalt.

V=π02(X2 / 4)^2 dx

 

V=02 X4 / 16 dx

 

Därefter vet jag att jag ska göra en primitiv funktion av X^4/16.

Men jag har fått helt hjärnfrys, hur gör jag det??

Primitiv funktion av X4 borde vara X55 , eller har jag fel redan här?

Om det nu är rätt, hur tänker jag kring /16?

SeriousCephalopod 2696
Postad: 11 jul 2022 15:42 Redigerad: 11 jul 2022 15:43

Division med 4 är detsamma som att mulitplicera med 1/4.

x416=116x4\frac{x^4}{16} = \frac{1}{16}x^4

Du känner nog igen att när man integrerar polynom med konstanter framför dem så struntar man bara i konstanterna. 

Ex:

085x3dx=[5x44]08\int_0^8 5x^3 dx = [\frac{5x^4}{4}]_0^{8}

Divisionen med 16 behandlar du på samma sätt

02116x4dx=[116x55]02\int_0^2 \frac{1}{16}x^4 dx = [\frac{1}{16}\frac{x^5}{5}]_0^{2}

ingetmattesnille 49
Postad: 11 jul 2022 15:58
SeriousCephalopod skrev:

Division med 4 är detsamma som att mulitplicera med 1/4.

x416=116x4\frac{x^4}{16} = \frac{1}{16}x^4

Du känner nog igen att när man integrerar polynom med konstanter framför dem så struntar man bara i konstanterna. 

Ex:

085x3dx=[5x44]08\int_0^8 5x^3 dx = [\frac{5x^4}{4}]_0^{8}

Divisionen med 16 behandlar du på samma sätt

02116x4dx=[116x55]02\int_0^2 \frac{1}{16}x^4 dx = [\frac{1}{16}\frac{x^5}{5}]_0^{2}

Tack!

 

π((116*255)-(116*055)) = π((116*325)-0)=π*3280

Svar: 1,25 VE

Är följande rätt`?

Ture Online 10273 – Livehjälpare
Postad: 11 jul 2022 16:03 Redigerad: 11 jul 2022 16:03

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4pipi

ingetmattesnille 49
Postad: 11 jul 2022 16:04
Ture skrev:

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4/pi/pi

 

Tack för svar Ture!

Jag ska svara både exakt, och med ett närmevärde med tre gällande siffror.

Därför ska jag även svara som du gjorde, tack för påminnelsen!!

Jonne 19
Postad: 19 feb 23:08
Ture skrev:

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4pipi

Har en uppgift där man ska räkna samma uppgift med skalmetoden. Hur ska man göra detta får ett annat svar än med skivmetoden men man borde väl få samma svar?

Båda ger samma svar, men ibland blir det enklare eräkningar med en av metoderna än den andra (vilken metod som är enklast varierar, därför är det bra att ha båda i sin verktygslåda).

Jonne 19
Postad: 19 feb 23:16
Smaragdalena skrev:

Båda ger samma svar, men ibland blir det enklare eräkningar med en av metoderna än den andra (vilken metod som är enklast varierar, därför är det bra att ha båda i sin verktygslåda).

Ja problemet är att jag har en inlämnings uppgift och måste använda skalmetode. Har helt kört fast och hur jag än försöker får jag inte samma svar.

Visa hur du gjort! 

Jonne 19
Postad: 19 feb 23:23
Ture skrev:

Visa hur du gjort! 

Kolla integrationsgränserna!

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Jonne 19
Postad: 19 feb 23:52
Ture skrev:

Kolla integrationsgränserna!

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Vad menar du? Gränserna kan väl inte vara något annat än 0 och 2?

Nu integrerar du i y-led 

När x = 2 är y = 1

Jonne 19
Postad: 20 feb 00:01
Ture skrev:

Nu integrerar du i y-led 

När x = 2 är y = 1

Så vad blir gränserna x-led då?

Ture Online 10273 – Livehjälpare
Postad: 20 feb 00:08 Redigerad: 20 feb 00:09

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Jonne 19
Postad: 20 feb 00:20
Ture skrev:

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Jonne 19
Postad: 20 feb 00:20
Jonne skrev:
Ture skrev:

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Om jag gör såhär får jag ju rätt svar men det känns fel ändå på något sätt?

Jo det är faktiskt rätt. 

Den sökta volymen är skillnaden mellan en cylinder med r = 1 och längd = 2, ger volymen 2pi, och den kropp vars volym du beräknar i integralen med dy i.

Det blir tydligt om du ritar kurvan och markerar i figuren vad du beräknat. 

Jag kan visa i morgon, nu är det sovdags. 

Jonne 19
Postad: 20 feb 00:33
Ture skrev:

Jo det är faktiskt rätt. 

Den sökta volymen är skillnaden mellan en cylinder med r = 1 och längd = 2, ger volymen 2pi, och den kropp vars volym du beräknar i integralen med dy i.

Det blir tydligt om du ritar kurvan och markerar i figuren vad du beräknat. 

Jag kan visa i morgon, nu är det sovdags. 

Ja gör det tack och godnatt

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 20 feb 08:30 Redigerad: 20 feb 09:42

Som vanligt: Första steget är att rita upp kroppen. Om du hade börjat med att göra detta, hade du sluppit mycket krångel.

Som jag skrev i natt och som Smaragdalena påpekade, om man ritar så klarnar det:

Så här ser det ut

Det är volymen som uppstår när det gula området, B, roterar runt x-axeln du vill beräkna.

Den integral du gjorde i inlägg #10 beräknar volymen som uppstår när det blå området, A, roterar. (dvs om y går från 0 till 1)

Som du ser bildar det blå och det gula området tillsammans en rektangel, när den snurrar runt x-axeln bildas en cylinder vars volym minskat med volymen som område A ger upphov till, blir den sökta volymen. Dvs det du beräknade i inlägg #16

Nu tycker jag att du ska formulera en integral som direkt ger den sökta volymen, med skalmetoden.

Börja med att rita det skal som bildas när en liten strimma i det gula området roterar.

Jonne 19
Postad: 20 feb 09:53
Ture skrev:

Som jag skrev i natt och som Smaragdalena påpekade, om man ritar så klarnar det:

Så här ser det ut

Det är volymen som uppstår när det gula området, B, roterar runt x-axeln du vill beräkna.

Den integral du gjorde i inlägg #10 beräknar volymen som uppstår när det blå området, A, roterar. (dvs om y går från 0 till 1)

Som du ser bildar det blå och det gula området tillsammans en rektangel, när den snurrar runt x-axeln bildas en cylinder vars volym minskat med volymen som område A ger upphov till, blir den sökta volymen. Dvs det du beräknade i inlägg #16

Nu tycker jag att du ska formulera en integral som direkt ger den sökta volymen, med skalmetoden.

Börja med att rita det skal som bildas när en liten strimma i det gula området roterar.

Men vad blir då skalets höjd? Om själva längden eller omkretsen blir 2piy

HAr du ritat ett skal?

Visa din bild!

Jonne 19
Postad: 20 feb 10:07 Redigerad: 20 feb 10:07
Ture skrev:

HAr du ritat ett skal?

Visa din bild!

vet inte riktigt hur mab ska rita 

Du har ritat en bra bild, den i koordinatsystemet alltså.

Det skal du ritat, vilken bredd har det och vilken innerradie, uttryckt i x och y?
När du formulerat det översätter du det till enbart y och ev konstanter.
Vad är tjockleken på skalet?
Vad blir skalets volym?

Sen är det dags att formulera din integral och lösa den!

Jonne 19
Postad: 20 feb 10:54
Ture skrev:

Du har ritat en bra bild, den i koordinatsystemet alltså.

Det skal du ritat, vilken bredd har det och vilken innerradie, uttryckt i x och y?
När du formulerat det översätter du det till enbart y och ev konstanter.
Vad är tjockleken på skalet?
Vad blir skalets volym?

Sen är det dags att formulera din integral och lösa den!

Men brdden är väl samma sak som cylinderns omkrets alltså 2pix eller 2piy sen vet jag inte tjocklen eller inerradien.

Titta i din figur, med bredd menar ja i x-led

Om skalet träffar kurvan i  (a, b) ,  hur bred är då cylindern? 

Jonne 19
Postad: 20 feb 11:03
Ture skrev:

Titta i din figur, med bredd menar ja i x-led

Om skalet träffar kurvan i  (a, b) ,  hur bred är då cylindern? 

Nu hänger ja inte riktigt med från 0 till 2?

Titta på din bild: skalet träffar kurvan i a, b alltså är skalet bredd.... 

Jonne 19
Postad: 20 feb 11:06
Ture skrev:

Titta på din bild: skalet träffar kurvan i a, b alltså är skalet bredd.... 

1 till 2

om vänstra sidan av skalet är på a och högra på 2 blir bredden 2-a

VAd är skalets innerradie? 

Jonne 19
Postad: 20 feb 11:24
Ture skrev:

om vänstra sidan av skalet är på a och högra på 2 blir bredden 2-a

VAd är skalets innerradie? 

Ingen aning men kanske 1-a om höjden är y=1

Ture Online 10273 – Livehjälpare
Postad: 20 feb 12:52 Redigerad: 20 feb 12:52

Radien räknas från x axeln till skalet. 

Dvs  y koordinaten som vi för just det här skalet kallar b. 

Jonne 19
Postad: 20 feb 13:12 Redigerad: 20 feb 14:59
Ture skrev:

Radien räknas från x axeln till skalet. 

Dvs  y koordinaten som vi för just det här skalet kallar b. 

Nå nu har jag kokat ihop en integral denna ser väl rätt ut?

Den ser bra ut, vad får du när du löser den? 

Jonne 19
Postad: 20 feb 13:47
Ture skrev:

Den ser bra ut, vad får du när du löser den? 

0,4pi alltså samma som med skivmetoden

Lysande! 

Svara
Close