Beräkna volymen

Ditt uttryck för integralen ser riktig ut, även om jag tror att du råkat missa ett =-tecken.

Du vill ha primitiven till $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$. Vet du hur du räknar ut primitiven till $\frac{1}{x^2}$? Om du gör det kan du betrakta det som

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}=g\left(h\left(x\right)\right), \\ g\left(x\right)=\frac{1}{x^2} \\ h\left(x\right)=x+1 \end{gathered}$$

ja  $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$och då är den primitiva funktionen $\frac{x^{-3}}{3}$?

Pröva!

Du kan och bör alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka ursorungsfunktionen.

Om du gör det så var ditt förslag rätt, annars inte.

Du ska rotera rotationsvolymen runt y-axlen. Du måste därför rotera rotationsvolymen med avseende på y (dy). Lös ut x (så får du en sk invers funktion). Integrera därefter

EDIT: förlåt, läste fel dy, inte dx...

nej det blir inte samma funktion . Jag vet inte hur jag ska göra...

Du hade alltså x^-2 som du ville ha den primitiva funktionen till.

Detta borde motsvara xⁿ på rad 2 i formelbladet.

Vilken blir då den primitiva funktionen?

om jag gör enligt formelbladet så blir det:

$\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}$???

Om dina tre frågetecken betecknar osäkerhet, följ Yngves råd och derivera denna funktion för att se om du får ursprungsfunktionen.

om jag deriverar den  så blir det $\frac{-1x^{-2}}{-1}=1x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$

så en primitiv till funktionen $\frac{1}{x^2}$ är $\frac{x^{-1}}{-1}$ 

ska jag sedan göra som jag gjorde men använda rotationen kring y-axeln?

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi }{\int }_1^2{\left(\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right)}^2\mathrm{dy}\mathrm{\pi }{\int }_1^2\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2}\mathrm{dy} \\ \mathrm{\pi }{{\left[\frac{{\mathrm{x}}^{-1}}{-1}\right]}^2}_1 = \mathrm{\pi }\left(\frac{2^{-1}}{-1}\right)-\mathrm{\pi }\left(\frac{1^{-1}}{-1}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{\pi }*2^{-1}-\mathrm{\pi }*\frac{1}{-1} \\ -\mathrm{\pi }*\frac{1}{2}-\mathrm{\pi }(-1) \\ -\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi } \\ =\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \mathrm{svar}: \mathrm{x} = \frac{\mathrm{\pi }}{2} \end{gathered}$$

stämmer det eller är jag helt ute och cykar?

Uträkningen ovan är rätt utförd, så när som på en detalj:

Du har hittat primitiva funktionen till x^-2 och räknat på det. Det du skulle tagit reda på var den primitiva funktionen till (x+1)^-2.

Den skiljer sig inte så mycket åt från den primitiva funktionen till x^-2.

Och du ska rotera kring x-axeln som du gjort, och som står angivet i uppgiften.

förlåt men försöker få fram en primitiv funktion till (1+x)^-2 men kan inte.

Hur skulle du ha gjort om du skulle ta fram en primitiv funktion till 1/t (där t är variabeln)?

Pröva att göra på samma sätt med 1/(x+1).

Visa dina försök.

okej. den primitiva funktionen till $\frac{1}{{(x+1)}^{-2}}=\frac{1}{3}{(x+1)}^3$? stämmer det?

Du kan och bör alltid alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka ursprungsfunktionen.

Om du får det så var ditt förslag korrekt, annars inte.

jag vet inte vad det blir. det blir fel när jag deriverar det jag skrev sist. 

testat igen. får den här gången att den primitiva funktionen till $\frac{1}{{(x+1)}^2}$är $F\left(x\right)=-\frac{1}{x+1}+C$

men känner mig inte säker. När jag deriverar den får jag samma. Någon som kan förklara hur jag ska göra?

Har du ritat upp en bild av hur figuren ser ut? I så fall: lägg upp bilden här. Om inte: Rita och lägg upp bilden här. Jag skulel inte våga försöka integrera en sådan här krånglig integral utan att rita upp först!

Joh_Sara skrev:

testat igen. får den här gången att den primitiva funktionen till $\frac{1}{{(x+1)}^2}$är $F\left(x\right)=-\frac{1}{x+1}+C$

men känner mig inte säker. När jag deriverar den får jag samma. Någon som kan förklara hur jag ska göra?

Du skriver att du "får samma" när du deriverar den.

Menar du då att du får att derivatan av $-\frac{1}{x+1}+C$ är lika med $\frac{1}{(x+1)^2}$?

Om svaret är ja så behöver du inte vara osäker.

För det är nämligen rätt och det betyder att $-\frac{1}{x+1}+C$ är de primitiva funktionerna till $\frac{1}{(x+1)^2}$.

Det gäller nämligen alltid att om $F'(x)=f(x)$ så är $F(x)$ en primitiv funktion till $f(x)$.

(Det är därför som den primitiva funktionen ibland kallas för "antiderivatan" och att man "antideriverar" när man tar fram en primitiv funktion.)

Bra!

Behöver du hjälp att komma vidare?

har fortsatt räknat;

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{x+1} \\ x=1 \\ x=2 \\ Vi ska ta reda på volymen för figuren som roterar runt x-axe\ln \\ Har gjort såhär: \\ forme\ln : ∆V={\int }_a^b{\mathrm{\pi y}}^2 \\ \mathrm{V}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{\pi x}}^2\mathrm{dx} \\ \mathrm{V}=\mathrm{\pi }{\int }_1^2{\left(\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right)}^2={\int }_1^2\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2} \\ \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)= \mathrm{\pi }{{\left[-\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right]}^2}_1= \mathrm{\pi }\left(\frac{1}{2+1}\right)-\mathrm{\pi }\left(\frac{1}{1+1}\right) \\ = \mathrm{\pi }(-\frac{1}{3})-\mathrm{\pi }(-\frac{1}{2}) \\ =-\frac{\mathrm{\pi }}{3}+\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ =\mathrm{förläng} \mathrm{så} \mathrm{vi} \mathrm{får} \mathrm{samma} \mathrm{nämnare} \\ -\frac{\mathrm{\pi }*2}{3*2}+\frac{\mathrm{\pi }*3}{2*3} \\ =-\frac{2\mathrm{\pi }}{6}+\frac{3\mathrm{\pi }}{6}= \frac{-2\mathrm{\pi }+3\mathrm{\pi }}{6}=\frac{\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

Du har tänkt rätt, räknat rätt och kommit fram till rätt svar. Bra!

Men du har missat att skriva ut t.ex. minustecken, $\pi$ och dx på ett par ställen i dina uträkningar.