Beräkna volym (variabelbyte, trippelintegral)

Jag tycker det enklaste verkar vara att skiva cylindern i xz-planet, vinkelrätt mot y-axeln. Jag har inte räknat på det, men det ser genomförbart ut. Du får en mängd rektangulära skivor att summera, och varken x-värdet eller z-värdet verkar omöjligt att beräkna.

I det här fallet  beräknade jag ${\iint }_{R}z dA där R: x^2+y^2=2ay$

Jag använde mig polärt system för uträkningar:

$$\begin{gathered} {\iint }_{R}z dA={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\int }_0^{2a\sin \theta }(2a-r)r dr d\theta ={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\int }_0^{2a\sin \theta }2ar-r^2 dr d\theta = \\ {\int }_0^{\mathrm{\pi }}{{\left[a{r}^2-\frac{r^3}{3}\right]}^{2a\sin \theta }}_0 d\theta ={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left[4a^3{\sin }^2\theta -\frac{8a^3{\sin }^3\theta }{3}\right] d\theta = \\ {\int }_0^{\mathrm{\pi }}4a^3{\sin }^2\theta d\theta -{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\frac{8a^3{\sin }^3\theta }{3} d\theta =4a^3{\int }_0^{\mathrm{\pi }}\frac{1-\cos 2\theta }{2}d\theta -\frac{8a^3}{3}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\sin }^3\theta d\theta = \\ =2a^3{{\left[\theta -\frac{\sin 2\theta }{2}\right]}^{\mathrm{\pi }}}_0 - \frac{8a^3}{3}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}(1-{\cos }^2\theta )\sin \theta d\theta = \\ =2\mathrm{\pi }{a}^3-\frac{8a^3}{3}{{\left[-\cos \theta +\frac{{\cos }^3\theta }{3}\right]}^{\mathrm{\pi }}}_0 =2\mathrm{\pi }{a}^3-\frac{8a^3}{3}\left(\frac{4}{3}\right)=2a^3(\mathrm{\pi }-\frac{16}{9}) \\ \mathrm{obs}: {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=2\mathrm{ay} \\ (\mathrm{rcos\theta }{)}^2+(\mathrm{rsin\theta }{)}^2=2\mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{sin\theta } \\ \mathrm{r}=2\mathrm{a} \mathrm{sin\theta } \end{gathered}$$

Tack för era svar. Jag ska kolla noggrannare på detta i början av nästa vecka. Jag tror jag hittade en video som kan vara till ganska bra hjälp också:

https://www.youtube.com/watch?v=qA83eznsKp8

Jag försöker återkomma med feedback om jag får ordning på uppgiften :) 

Bra alireza!

Här ett knep som underlättar nästan alla integraler i sfäriska (och ibland i cylindriska) koordinater:

Direkt kan man utvärdera integralerna

$\displaystyle \int_0^{\pi}\sin^2\theta \,\mathrm{d}\theta=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},\quad \displaystyle \int_0^{\pi}\sin^3\theta \,\mathrm{d}\theta=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.

$\displaystyle \int_0^{\pi}(4a^3\sin^2\theta-\frac{8a^3\sin^3 \theta}{3} )\,\mathrm{d}\theta=4a^3\cdot \frac{\pi}{2}-\frac{8a^3}{3}\cdot\frac{4}{3}=2\pi a^3-\frac{32a^3}{9}$

Hej!

För att kontrollera om den beräknade integralen är rimlig kan du använda din fina figur för att begränsa integralen.

Figuren indikerar att integralen ska vara mindre än kalv-konens volym och mindre än cylinderns volym.

Halv-konens volym är

    $0.5\cdot \frac{4\pi a^2\cdot 2a}{3} = \frac{4\pi a^3}{3}.$

Cylinderns volym är

    $\2a\cdot \pi a^2 = 2\pi a^3.$

Eftersom 4/3 < 2 så ska integralen vara mindre än halv-konens volym.

Albiki

Tack för hjälpen med denna uppgift! Det var verkligen bra! 🙂