Beräkna volym på parallellepiped med vekotrer

Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns ut av de tre vektorerna, som har sina fotpunkter i punkten med koordinater (4,0,−3) och sina slutpunkter i punkterna med koordinater (6,−4,−8), (3,−3,−1) respektive (7,−2,3).

Jag börjar med att kalla A=(4,0,−3), B=(6,−4,−8), C=(3,−3,−1) och D=(7,−2,3). Sen ritar jag vektorer med "svansen" i A till respektive slutpunkter som blir spetsen och räknar sedan ut längden på respektive vektor.

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(6 - 4)}^{2} + {(- 4 - 0)}^{2} + (- 8 - {(- 3))}^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} |\vec{A C}| = \sqrt{{(3 - 4)}^{2} + {(- 3 - 0)}^{2} + {(- 1 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{14} |\vec{A D}| = \sqrt{{(7 - 4)}^{2} + {(- 2 - 0)}^{2} + {(3 - (- 3))}^{2}} = \sqrt{49} = 7$

Jag är ny med vektorer och får fel svar, men jag tänker rent logiskt att volymen av denna piped bör vara $|\vec{A B}| * |\vec{A C}| * |\vec{A D}| = 21 \sqrt{70} = 175, 7$

Varför fungerar inte mitt resonemang? och hur bör jag istället göra?

Det fungerar inte eftersom de inte är vinkelräta. Volymen på en låda är bas gånger höjd oavsett om den lutar så att sidlängderna blir jättelånga.

Annars känns det som att volymen av låda låter misstänkt likt vad determinanten ska beskriva.

Jag tänker att jag kan hitta vinkel mellan A och B,C,D till att börja med?

Eller varför inte försöka sätta vektorerna på ett sådant sätt att det blir vinkelräta mot varandra, det borde kunna gå och det ändrar inte direkt själva vektorn?

Nja, det funkar inte. Om du gör vektorerna vinkelräta så måste du ändra deras riktning, och då har du ändrat vektorerna.

Du finns en formel för att räkna ut volymen av en parallellepiped som baseras på den skalära trippelprodukten.

V = $|\vec{A B} ∙ \vec{A C} \times \vec{A D}|$ .

Vet inte om det är något som ni gått igenom.

PATENTERAMERA skrev:
Nja, det funkar inte. Om du gör vektorerna vinkelräta så måste du ändra deras riktning, och då har du ändrat vektorerna.

Du finns en formel för att räkna ut volymen av en parallellepiped som baseras på den skalära trippelprodukten.

V = $|\vec{A B} ∙ \vec{A C} \times \vec{A D}|$ .

Vet inte om det är något som ni gått igenom.

Är multiplikationstecknet mellan AC och AD menat att man ska använda kryssprodukten?

Ja $\times$ är kryssprodukten, och • är skalärprodukten.

PATENTERAMERA skrev:
Du finns en formel för att räkna ut volymen av en parallellepiped som baseras på den skalära trippelprodukten.

V = $|\vec{A B} ∙ \vec{A C} \times \vec{A D}|$ .

Det är väl precis samma beräkning som för determinanten? 🤔

Svara

Visa senaste svar