Beräkna volym mha trippelintegral

jonte12 skrev:

Jag ska räkna volymen som begränsas av 2x + y + z = 0, x + 2y + z = 0,
x + y + 2z = 0 och x + y + z = 4. Jag har gjort variabelbytet $$\begin{gathered} u=2x+y+x \\ v=x+2y+z \\ w=x+y+2z \end{gathered}$$, och räknar ut skalfaktorn till detta till 1/4. Men hur hittar man begränsningarna till integralerna?

Man ritar. Först i de gamla variablerna, sedan i de nya.

Att de nya gränserna är u = 0, v = 0 och w = 0 är väl ganska enkelt att se, och för den sista gränsen ser det ut att bli nånting med u + v + w = ...

Smaragdalena skrev:

jonte12 skrev:

Jag ska räkna volymen som begränsas av 2x + y + z = 0, x + 2y + z = 0,
x + y + 2z = 0 och x + y + z = 4. Jag har gjort variabelbytet $$\begin{gathered} u=2x+y+x \\ v=x+2y+z \\ w=x+y+2z \end{gathered}$$, och räknar ut skalfaktorn till detta till 1/4. Men hur hittar man begränsningarna till integralerna?

Man ritar. Först i de gamla variablerna, sedan i de nya.

Att de nya gränserna är u = 0, v = 0 och w = 0 är väl ganska enkelt att se, och för den sista gränsen ser det ut att bli nånting med u + v + w = ...

Men hur vet jag hur jag ska rita? Var finns ex 2x+y+z finns i xyz koordinatsystemet?

Om x = 1 och y = 0 så måste z ha värdet -2 , så punkten (1,0,-2) ligger i planet.

Om x = 1 och z = 0 så måste y ha värdet -2 , så punkten (1,-2,0) ligger i planet.

Om x = 0 och y = 1 så måste z ha värdet -1 , så punkten (0,1,-1) ligger i planet.

Nu har du tre punkter som ligger i planet, så nu kan du rita upp det.

Det är inte alls nödvändigt att välja just de punkter som jag har valt, jag tog bara några som jag trodde skulle ge enkla beräkningar.