Beräkna volym av kil med ellips som botten

Hej, jag ska lösa uppgiften "Vidstående kil har elliptisk bottenyta med halvaxlarna a respektive b. Eggen är parallell med den axel vars halva längd är a. Plana snitt vinkelräta mot eggen ger likbenta trianglar av höjden h. Bestäm kilens volym"

Nedan infogar jag bild på figuren och min lösning. I slutet får jag fel svar, förmodligen har något blivit fel vid det sista variabelbytet. Jag undrar helt enkelt vad som blir fel och varför jag får en negativ volym. Det står också i lösningsförslaget att ${\int }_{-1}^1\sqrt{1-t^2}dt$ kan tolkas som arean av en halv cirkelskiva med radie 1 och på så sätt får de ut arean som $abh\times \frac{1}{2}\mathrm{\pi }$. Jag förstår inte riktigt heller hur man ser detta. Borde inte hela ellipsen "räknas med" om gränserna är 1 samt -1? 

Min sista fråga är var t kommer in. Hur vet man att man ska sätta x=at? Tack på förhand