beräkna volym

Börja med att göra klart för dig hur ytorna ser ut. Den första är en konyta med spetsen nedåt i origo, den andra en sfär med radie roten ur 2. Försök rita (fast det är svårt att göra snygga figurer i tre dimensioner.

De skär varandra längs en cirkelbåge. Bestäm radien. Då har du områdets gränser.

Kanske är det enklast att gå över till rymdpolära koordinater, jag har inte trängt in i uppgiften.

---

Tillägg: 22 nov 2023 00:18

Jag kom på att jag skrev fel, z = x² + y² är inte en konyta utan en parabolIsk yta. Unskyld

Den här frågan har ju några dagar på nacken och är säkert överspelad men för framtida funderande studenter så ska jag göra ett försök att förklara. 

Börja som Marilyn säger med att bilda dig en uppfattning om hur ytorna ser ut. Man kan rita för hand med lite färger men om man är osäker på det så är det enklare att använda något hjälpmedel. Om man lägger in funktionerna så får man följande bild (i det verktyg jag använder) 

Volymen som efterfrågas ligger inne i sfären och syns därmed inte i bilden men eftersom funktionerna är symmetriska map z-axeln kan vi rita en 2-dimensionell bild i xz-planet och tänka oss den roterad runt z-axeln för att få den efterfrågade volymen

Volymen är alltså den som innesluts av de båda kurvorna när den roterar runt z-axeln. 

Uppgiften var att beräkna volymen av denna kropp och det finns flera sätt att räkna ut den. Låt oss börja med det mest generella som skall vara hanterbart i en kurs på högskola/universitet. 

Vi tänker oss kroppen uppdelad i små kuber med sidorna dx,dy och dz. Om vi adderar alla dessa kuber så får vi volymen av hela kroppen. I gränserna så blir det ju lite fel när vi approximerar dem med kuber men det löser vi genom att integrera över volymen då dx, dy och dz går mot noll, precis som i envariabelfallet. 

Vi har således

$V=\int {\int }_K\int dx dy dz$

Dvs vi adderar alla kuber dx*dy*dz över volymen K. Har man svårt att "se" det framför sig kan man tänka sig ett rätblock som står på xy-planet med sidorna parallella med resp axel. Då blir ju 

$$\begin{gathered} \int dx =\hspace{0.17em}x \\ \int dy =\hspace{0.17em}y \\ \int dz =\hspace{0.17em}z \end{gathered}$$

och rätblockets volym blir naturligtvis x*y*z.  

Nu gäller det att hitta integrationsgränserna för problemets kropp och för x och y så kan de variera mellan 0 och 1. Det kan vi se i figuren i xz-planet men vi kan också lösa ekvationssystemet vi får då de två kurvytorna skär varandra

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2 = z\\ x^2+y^2+z^2 =\hspace{0.17em}2\end{array}\right.$ 

Eliminerar vi x²+y² så får vi 

z²+z-2 = 0

Och det ger oss z-värdet 1 och -2. -2 förkastas då kroppen skall innehålla (0,0,1) och således ligger skärningslinjen (cirkeln) där de båda kurvytorna skär varandra på z=1. Sätt in den i någon av de båda funktionerna så ges cirkeln av 

x²+y² = 1

dvs definitionsområdet D = {(x,y) : 0<= x <=1, 0<=y <=1}

För z-värden så är gränserna en funktion av x och y enligt de två givna funktionsytorna, 

$x^2+y^2 \le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}$

Man kan se det som att vi delar in D i en massa små rektanglar (dx*dy) och i varje rektangel staplar vi kuber (dx*dy*dz) på varandra mellan gränserna. Vi summerar dessa kuber och gör det samma för alla kombinationer av x och y-värden och den totala summan av alla kuber är då kroppens volym. 

Det kan vi uttrycka som 

$V =\hspace{0.17em}\int {\int }_{D}dxdy{\int }_{x^2+y^2}^{\sqrt{2-(x^2+y^2)}}dz$

Utvecklar vi z-integralen så får vi volymen som en funktion av x och y enligt

$V =\hspace{0.17em}\int {\int }_D(\sqrt{2-(x^2+y^2)} - (x^2+y^2\left)\right)dxdy$

dvs vi summerar skillanden mellan kurvytorna över definitionsområdet för x och y. Det ser väl inte alldeles hopplöst ut men x²+y² brukar föra tankarna till polära koordinater och vi förenklar tillvaron genom att  följa Marilyns råd och substituerar

$$\begin{gathered} \left\{x =\hspace{0.17em}r \cos \left(v\right), 0 \le r\le 1 \\ y =\hspace{0.17em}r \sin \left(v\right), 0 \le v\le 2\mathrm{\pi } \right\} \end{gathered}$$

Vilket då ger oss

$\int {\int }_P(\sqrt{2-r^2} - r^2)r drdv$

Notera att vi nu integrerar över ett nytt område P(r,v) och notera också faktorn r som "dykt upp" som ett resultat av koordinatövergången. 

På samma sätt som vi gjorde med trippelintegralen ovan kan vi nu dela upp integralen i två och vi integrerar r och v för sig med respektive gränser. 

$V =\hspace{0.17em}{\int }_0^{1}r(\sqrt{2-r^2} - r^2)dr {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}dv =\hspace{0.17em}\left({\int }_0^{1}r\sqrt{2- r^2} dr - {\int }_0^1{r}^3 dr\right)*2\pi$

Här har vi löst den sista integralen och delat upp den första integralen i en lite knepigare del (den första) och en lite enklare (den andra). Löser vi den andra delen får vi 

$V=\hspace{0.17em}\left({\int }_0^{1}r\sqrt{2- r^2} dr - \frac{1}{4}\right)*2\pi$

Nu betraktar vi den kvarvarande integralen och den ser lite knepigare ut som sagt men en vanlig substitution för r är då 

$f =\hspace{0.17em}\sqrt{a-r^2} är r = \sqrt{a} \sin \left(t\right)$

det ger då

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}r =\hspace{0.17em}\sqrt{2} \sin \left(t\right) 0\le t\le \frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ \sqrt{2-r^2} =\hspace{0.17em}\sqrt{2} \cos \left(t\right) \\ dr =\hspace{0.17em}\sqrt{2} \cos \left(t\right) dt\\ \end{array}\right. \end{gathered}$$ 

och nu kan vi skriva om integralen 

${\int }_0^{1}r\sqrt{2- r^2} dr =\hspace{0.17em}{\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sqrt{2}\sin \left(t\right)\times \sqrt{2}\cos \left(t\right)\times \sqrt{2}\cos \left(t\right) dt = 2\sqrt{2} {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\sin \left(t\right) - {\sin }^3\left(t\right) dt$

Den första delen av integralen blir -cos(t) och med insatta värden 

$-\frac{1}{\sqrt{2}}+1 =\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$

Den andra delen tar vi ur regelboken och får då

${\int }_{}^{}{\sin }^3\left(t\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\frac{1}{3}{\sin }^2\left(t\right)\cos \left(t\right) +\frac{2}{3}{\int }_{}^{}\sin \left(x\right) dx =\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}-\frac{1}{3}{\sin }^2\left(t\right)\cos \left(t\right) -\frac{2}{3}\cos \left(t\right)$

Sätter vi in gränserna i det här så får vi 

$-\left(\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-0\right) - \left(\frac{2}{3}\times \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3}\right) =\hspace{0.17em}\frac{1}{6\sqrt{2}}-\frac{2}{3\sqrt{2}}+\frac{2}{3}$

Slår vi ihop det med ovanstående får vi 

${\int }_0^{1}r\sqrt{2- r^2} dr =2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{6\sqrt{2}} + \frac{2}{3\sqrt{2}}-\frac{2}{3}\right) =\hspace{0.17em}2\left(\sqrt{2}-1 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) =\hspace{0.17em}2\left(\frac{\sqrt{2}}{3} -\frac{1}{6} \right)= \frac{2\sqrt{2} -1}{3}$

och då får vi uttrycket för volymen enligt ovan 

$V =\left(\hspace{0.17em}\frac{2\sqrt{2}-1}{3}-\frac{1}{4}\right)\times 2\mathrm{\pi }$

 

Det här sättet att lösa den här typen av problem fungera alltid för snälla funktioner även om integralen kan bli mer eller mindre besvärlig. Om man, som i det här fallet, har en kropp som är symmetrisk runt en axel vi kan integrera m a p så kan vi förenkla det betydligt genom att vi kan göra om problemet till ett envariabelproblem. 

Tänk såhär: Vi börjar med den inledande figuren och tänker oss att vi delar in z-axeln i små delar - dz. För varje sånt inkrement så räknar vi ut volymen av en skiva av tjockleken dz och med yttre randen som skalet av den funktion vi tittar på och summerar alla dessa skivor till den totala volymen. Här gäller det bara att vi ska integrera över z och måste då kunna uttrycka varje skivas area med hjälp av z-koordinaten. Låt oss titta på det. 

Upp till z=1 så har vi en paraboloid med ekvationen z = x² + y² och ur den ser vi att den beskriver en cirkel med radien

$r =\hspace{0.17em}\sqrt{z}$ 

Så då har vi lätt att räkna ut volymen på den skivan som 

$dV =\hspace{0.17em}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{dz} =\hspace{0.17em}\mathrm{\pi } \mathrm{z} \mathrm{dz}$

för z > 1 så är i stället skalet på sfären gränsen för skivan och den är också en cirkel med radien 

$r =\hspace{0.17em}\sqrt{2-z^2}$

och vi kan då på samma sätt räkna ut varje delskiva volym som 

$dV =\hspace{0.17em}\mathrm{\pi } (2-{\mathrm{z}}^2) \mathrm{dz}$

Då kan vi ställa upp ett uttryck för volymen som 

$V =\hspace{0.17em}{\int }_0^1\mathrm{\pi }{\mathrm{z}}^{}\mathrm{dz} + {\int }_1^{\sqrt{2}}\mathrm{\pi }{(2-{\mathrm{z}}^2)}^{}\mathrm{dz} =\hspace{0.17em}\frac{\mathrm{\pi }}{2} + \mathrm{\pi }\left(\left(2\sqrt{2 -\frac{2\sqrt{2}}{3}}\right)-\left(2-\frac{1}{3}\right)\right)=... =\mathrm{\pi }\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{7}{6}\right)$

dvs samma uttryck (lite förenklat) som vi kom fram till i den längre, mer generella lösningen. 

Av det lär man sig att det kan löna sig att fundera igenom problemet (som alltid), göra sig en bild av det, leta efter symmetrier och välja integrationsaxlar på ett klokt sätt så blir livet lite enklare.