Beräkna vektor ortogonal mot annan

Här tänker jag att $\overset{⇀}{a} = k (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$

och att $\overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{u} = 0$

då kan man skriva $(\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b 1 \\ b 2 \\ b 3 \end{matrix}) = 0$

Alltså $- 5 b_{1} - b_{2} + 5 b_{3} = 0$

Då sätter jag in några element för vektor b som uppfyller det här kravet: t.ex.: 1,0,1

Då kommer ekvationen se ut såhär:

$(\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = k (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

men om man försöker lösa ut k kommer det bli olika värden alltså är detta fel. Kan någon hjälpa mig?

Man kan inte bara hitta på vektorn $\vec{b}$ , utan den skall beräknas.

Du har fyra (linjära) ekvationer och fyra obekanta variabler, $b_1, b_2, b_3, k$ :

$-5b_1 - b_2 + 5 b_3 = 0$ är en av ekvationerna och sedan har du ekvationstrippeln $\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-5\\-1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$

Eller om man skriver ut ekvationstrippeln som separata ekvationer:

$\left\{\begin{array}{rllll}&-5b_1&-b_2&+5b_3&=0\\-5k&+b_1&&&=-2 \\ -1k&&+b_2&&=-2\\5k&&&+b_3&=3\end{array}\right.$

Alternativ lösning: Vektorn $\vec{a}$ kan bestämmas m.h.a. projektionsformeln. Vektorn $\vec{b}$ är sedan dess ortogonala komplement.

LuMa07 skrev:
Man kan inte bara hitta på vektorn $\vec{b}$ , utan den skall beräknas.

Du har fyra (linjära) ekvationer och fyra obekanta variabler, $b_1, b_2, b_3, k$ :

$-5b_1 - b_2 + 5 b_3 = 0$ är en av ekvationerna och sedan har du ekvationstrippeln $\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-5\\-1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$

Eller om man skriver ut ekvationstrippeln som separata ekvationer:

$\left\{\begin{array}{rllll}&-5b_1&-b_2&+5b_3&=0\\-5k&+b_1&&&=-2 \\ -1k&&+b_2&&=-2\\5k&&&+b_3&=3\end{array}\right.$

Alternativ lösning: Vektorn $\vec{a}$ kan bestämmas m.h.a. projektionsformeln. Vektorn $\vec{b}$ är sedan dess ortogonala komplement.

Du är en hjälte, ja ekvationssystemet är super men jag tror de vill att man ska använda projektionsformeln, om b är dess ortogonala komponent hur använder man då formeln och hur ser det ut geometriskt

Om vektorn (-2, -2, 3) kallas för $\vec{v}$ , så kommer projektionsformeln lyda $\vec{a} = \dfrac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} \vec{u}$ , där $\cdot$ betecknar skalärprodukten.

När man beräknat $\vec{a}$ , så är komplementet helt enkelt differensen mellan den funna projektionen och ursprungsvektorn, d.v.s. $\vec{b} = \vec{v} - \vec{a}$ . Det är alltså den vektorn som går från projektionens spets mot ursprungsvektorns spets.

Svara

Visa senaste svar