Beräkna växelström samt fasvinkel i krets

Jag skulle modifiera den första metoden genom att inte räkna ut effektivvärdet. Beskriv helt enkelt komplext med Eulers lag:

$I = \dfrac{Ve^{j\omega t}}{Z_{komplex}}$

$arg(I) = \omega t - arg(Z_{komplex})$

Du kommer alltså få ut fasvinkeln relativt spänningen som komplexa argumentet för ekvivalent impedans. Uttrycket för ekvivalent impedans som du har nu ser lite knepig ut. Jag skulle råda dig att skriva om den.

Låter bra! Menar du att skriva om Z_komplex på motsvarande form som Ve^jwt? I så fall, hur gör man för att "addera" ihop de olika impedansen på den formen? Har själv tidigare endast nyttjat jw-metoden på formen Z=a+bi. 

Behandla impedanserna som vanliga resistanser vilket ger:

$Z_{komplex} = 1/j\omega C + \dfrac{R \cdot j\omega L}{R+j\omega L}$

Detta är samma som du hade bortsett från att ditt uttryck saknade korrekta parenteser. Ta nu fram komplexa argumentet för ekvivalent impedans:

$\arg\left(Z_{komplex}\right) = \arctan(\dfrac{b}{a})$

Där du alltså skriver om det på a+bi-form, där a är resistansen och b är reaktansen. Jag vet tyvärr inget enklare sätt även om kan det finnas något.

Ser att uttrycket för Z_komplex blir det som står ovan, vilket ändå är hanterbart. Vill du bara motivera varför vi kan skriva arg(I)=ωt−arg(Z_komplex)? Det ser rimligt ut, men skulle vilja förstå det matematiskt. Dessutom, visst menar du V=V_eff*$\sqrt{2}$?

student_001 skrev:

Ser att uttrycket för Z_komplex blir det som står ovan, vilket ändå är hanterbart.

Ja, har du siffror blir det oftast mycket enkelt. Nu är det mest bara massa algebra.

Vill du bara motivera varför vi kan skriva arg(I)=ωt−arg(Z_komplex)? Det ser rimligt ut, men skulle vilja förstå det matematiskt.

Motivationen kommer från potenslagen enligt nedan:

$\dfrac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$

Du har exponentialformen för ett komplext tal som:

$a+bj = \sqrt{a^2+b^2} e ^{j \cdot arg(a+bj)}$

Alltså, när vi uttrycker spänningen får vi:

$E = Ve^{j \omega t}$

Detta för att RMS-värdet är $V$ och frekvensen hos visaren är $\omega=2\pi f$ så att argumentet är $arg(E) = \omega t$. Vi kan på samma sätt skriva impedansen som:

$Z = |Z| e^{j \cdot arg(Z)}$

Detta ger oss:

$I = \dfrac{E}{Z} = \dfrac{Ve^{j \omega t}}{|Z| e^{j \cdot arg(Z)}} = \dfrac{V}{|Z|}e^{j \omega t-j \cdot arg(Z)}$

$arg\left(I\right) = \omega t - arg(Z)$

Detta samband avslöjar tydligt varför strömmen är fasförskjuten exakt 90 grader i en rent induktiv eller kapacitiv krets eftersom du då har att $arg(Z) = \pm 90^{\circ}$

Dessutom, visst menar du V=V_eff*$\sqrt{2}$?

De anger att V är RMS-värdet i uppgiften och då kommer också I fås ut som RMS-värde om du inte konverterar det till toppvärde. Att däremot skriva som du hade gjort såg jag som överflödigt.

Tusen tack! Då blir det väl enklast om jag pluggar in värden i följande och svarar:

Strömmen (effektivvärde), I = V/|Z_komplex|

Fasvinkeln = wt - arg(Z_komplex)

där Z_komplex är enligt ovan

student_001 skrev:

Fasvinkeln = wt - arg(Z_komplex)

Tänk på att de frågar efter fasförskjutningen relativt spänningen. Spänningen blir referenspunkt och förskjutningen blir bara:

$\phi = arg(Z_{komplex})$

Visst bör jag då kunna skriva:

Sökta fasförskjutningen ϕ = |arg(I_komplex)-arg(V_komplex)|=|(ωt−arg(Z))-(ωt)|=|-arg(Z_komplex)|=arg(Z_komplex).  ?

Helt korrekt bortsett från dina användningar av absolutbelopp men det är mindre viktigt i sammanhanget.

Ska det inte va absolutbelopp, vad är felet?

Annars blir väl fasförskjutningen negativ? Ska den vara det?

Fasförskjutningen kan både vara negativ eller positiv. Det beskriver i det här fallet hur långt före eller efter spänningen som strömmen svänger. 

Om du ser dem som sinuskurvor eller visare som roterar spelar ingen roll, samma princip gäller. För en rent induktiv krets har vi impedansen:

$Z_L = j\omega L$

Detta ger en fasförskjutning på +90 grader hos strömmen därför att vi får:

$arg(Z_L) = +90^{\circ}$

Omvänt har vi för en rent kapacitiv krets med impedansen:

$Z_C= \dfrac{1}{j\omega C}$

$arg(Z_C)=-90^{\circ}$

Detta bör du kunna läsa om i din bok eller på Wikipedia:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/V%C3%A4xelstr%C3%B6m

Jag köper att den kan vara både positiv/negativ. Men, är din poäng att jag bör ta bort absolutbeloppet så att den blir negativ i detta fall? 

student_001 skrev:

Jag köper att den kan vara både positiv/negativ. Men, är din poäng att jag bör ta bort absolutbeloppet så att den blir negativ i detta fall? 

Ja, jag tycker att du ska ta bort absolutbeloppet kring differensen.