Beräkna triangels maximala area med derivata

Välkommen till Pluggakuten!

Ställ upp ett uttryck för triangelns area.

Säg att basen är sträckan mellan  (u, 0) och  (2, 0), där  0 ≤ u ≤ 2.
Höjden är då sträckan mellan  (u, 0) och  (u, 2u - u²).

Hur stor är då basen och hur stor är höjden?  [uttryckta i  u ]
Hur stor är då triangelns area?   [uttryckt i  u] 

Beräkna triangelns maximala area.

Arktos skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Ställ upp ett uttryck för triangelns area.

Säg att basen är sträckan mellan  (u, 0) och  (2, 0), där  0 ≤ u ≤ 2.
Höjden är då sträckan mellan  (u, 0) och  (u, 2u - u²).

Hur stor är då basen och hur stor är höjden?  [uttryckta i  u ]
Hur stor är då triangelns area?   [uttryckt i  u] 

Beräkna triangelns maximala area.

 

 

Hej! Tack!

 

Jo, så långt är jag med. $(2-x)(2x-x^2)÷2$

 

Jag kommer liksom inte framåt. Det som står ovan är ju bara ett uttryck och inte ett svar

Nu har du ett uttryck för triangelns area  (uttryckt i x, vilket går lika bra).
Utveckla det!

Det blir en tredjegrads-funktion.
Har den något maximum i intervallet  0 ≤ x ≤ 2 ?

Arktos skrev:

Nu har du ett uttryck för triangelns area  (uttryckt i x, vilket går lika bra).
Utveckla det!

Det blir en tredjegrads-funktion.
Har den något maximum i intervallet  0 ≤ x ≤ 2 ?

Använder a istället för enkelhetens skull; maximum är där x= (2-a) om jag tänker rätt. Jag har utvecklat det till en tredjegradsfunktion, deriverat, och fått fram $a_{1 }=\frac{2}{3}$ och $a_{2 }=2$. Vilket i min värld känns rimligt? Men sen tar det liksom stopp. 

Vilken area har triangeln om a = 2/3? Vilken area har triangeln om a = 2?

Smaragdalena skrev:

Vilken area har triangeln om a = 2/3? Vilken area har triangeln om a = 2?

A(a) när A(2/3) = $2\times \frac{2}{3}-2\times \left({\frac{2}{3}}^2\right)+0,5\times \left({\frac{2}{3}}^3\right)$ och sen känner jag mig alldeles vilsen. Om det här nu ens stämmer - räknar jag ut det får jag ju en hel massa decimaler, så jag förstår ju rimligtvis att jag inte ska "räkna ut det fullständigt" men jag får hjärnsmälta nånstans på vägen 

Räkna ut det i bråkform - det är exakt.

Smaragdalena skrev:

Räkna ut det i bråkform - det är exakt.

Det har jag redan försökt med... Kanske är jag inte så vilsen som jag trott, haha. 

$2\times \frac{2}{3}-2\times {\frac{2}{3}}^2+0,5\times {\frac{2}{3}}^3= \frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\frac{4}{27}=\frac{16}{27}$

Har jag tänkt rätt då? Det där med bråk är inte min starkaste sida.

Hur ser uttrycket för arean ut? Är det $A\left(x\right) =\hspace{0.17em}\frac{\left(2-x\right)\left(2x-x^2\right)}{2}=2x-2x^2+\frac{x^3}{2}$, som du skrev i #3?

Hur ser derivatan ut? Du har bara skrivit för vilka värden derivatan är 0.

Om jag sätter in x = 2 i A(x) får jag a(2) = 0 (det är lättast att räkna när funktionen är i faktorform).  $A\left(\frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right)-2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3}{2}=\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\frac{4}{27}=\frac{36-24+4}{27}=\frac{16}{27}$, precis som du fick. Vi kan ju kolla för något annat värde på x, för att se att det stämmer att arean blir mindre i så fall: A(x)=½(2-1)(2-1) = ½ så det verkar stämma.

Smaragdalena skrev:

Hur ser uttrycket för arean ut? Är det $A\left(x\right) =\hspace{0.17em}\frac{\left(2-x\right)\left(2x-x^2\right)}{2}=2x-2x^2+\frac{x^3}{2}$, som du skrev i #3?

Hur ser derivatan ut? Du har bara skrivit för vilka värden derivatan är 0.

Om jag sätter in x = 2 i A(x) får jag a(2) = 0 (det är lättast att räkna när funktionen är i faktorform).  $A\left(\frac{2}{3}\right) = 2\left(\frac{2}{3}\right)-2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3}{2}=\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+\frac{4}{27}=\frac{36-24+4}{27}=\frac{16}{27}$, precis som du fick. Vi kan ju kolla för något annat värde på x, för att se att det stämmer att arean blir mindre i så fall: A(x)=½(2-1)(2-1) = ½ så det verkar stämma.

Precis, det är uttrycket för arean. 

Så A'(x) = $2-4x+1,5x^2$

Men precis som du säger så verkar det stämma när jag kontrollräknar med andra värden, att det blir $\frac{16}{27}ae$. Så jag tror faktiskt att hissen har gått hela vägen upp nu, så att säga, haha. 

Tack för hjälpen!