Beräkna triangels area (Matematik/Matte 2/Funktioner och grafer)

Du kan t.ex. använda Herons formel om du först bestämmer triangelns sidlängder.

Kan du visa hur? Jag förstår inte riktigt

Börja med att hitta hörnens koordinater (linjernas skärningspunkter).

Sedan kan du använda avståndsformeln för att beräkna sidlängderna.

Till slut kan du använda Herons formel för att bestämma arean.

=====

En annan metod är att bestämma triangelns bas och höjd och sedan använda den klassiska A = bh/2

Såhär?

Eller hur gör jag det på andra sättet?

Kan man bara räkna stegen i y led och x led för att få sidornas löngd?

Julialarsson321 skrev:
Såhär?

Ja. Du skrev minus där det ska vara plus på ett ställe, men du räknade rätt.

Julialarsson321 skrev:
Kan man bara räkna stegen i y led och x led för att få sidornas löngd?

Ja, om du använder Pythagoras sats (vilket är samma sak som avståndsformeln i det tvådimensuonella fallet).

Stämmer sidorna nu?

Julialarsson321 skrev:
Stämmer sidorna nu?

Inte riktigt.

Se bild, du glömmer att skriva parenteser runt -6, du skriver att en punkt är (5, -15) istället för (5, -13) och du skriver -2 istället för -4 på ett ställe:

Är detta korrekt? Och hur fortsätter jag?

Ja, det stämmer.

Beräkna nu längden av den tredje sidan, den som går mellan punkterna (3, 2) och (5, -13).

Sedan kan du antingen använda Herons formel direkt eller välja någon av sidorna till att vara bas och beräkna motsvarande höjd för att till sist beräkna arean enligt A = bh/2.

Va de det som jag gjorde högst upp? Jag har ju 3 sidor nu. B*h/2, kan jag då bara ta exempelvis roten ur 61 * roten ur 130 och dela på 2?

Julialarsson321 skrev:
Va de det som jag gjorde högst upp?

Ja, det stämmer, det hade jag glömt bort.

Jag har ju 3 sidor nu. B*h/2, kan jag då bara ta exempelvis roten ur 61 * roten ur 130 och dela på 2?

Fundera på vad b och h betyder.

Är det två godtyckliga sidlängder i triangeln?

H lär ju vara roten ur 229. Men botten vet jag inte riktigt

b står för basen och det är en av triangelns sidor. Du kan välja vilken sida du vill att vara basen.

h står för höjden och det är det vinkelräta avståndet från basen till det motstående hörnet.

Se bild (godtycklig triangel):

Rita din triangel, bestäm vilken sida du vill ska vara basen b och rita in höjden h.

Fundera på hur du ska kunna bestämma h.

Tips: Bestäm koordinaterna för den punkt på basen från vilken höjden utgår.

Om du har gjort det så kan du använda avståndsformeln för att bestämma h.

Jag förstår inte riktigt, jag kan vända på triangeln så b= roten ur 229?! Men hur väljer jag en koordinat för h?

Kan jag använda (-2,-4)?

Ja, det stämmer, eftersom det hörnet är motstående den sida du har valt som bas.

Se bild, jag har döpt triangelns hörn till A, B och C. Punkten där höjden nuddar basen AB har jag kallat D.

Nästa steg blir att bestämma koordinaterna för punkten D.

Och sedan att använda avståndsformeln för att beräkna beräkna höjden, dvs längden av sträckan DC.

Då känner du till både b och h och kan lätt beräkna arean.

Hänger du med på tankegången?

Tips:

För att bestämma koordinaterna för punkten D behöver du utnyttja att höjden DC är vinkelrät mot basen AB.

Vet du hur du ska göra det?

.

Nej det vet jag inte

Ta fram lutningen $k_{AB}$ för sidan AB, med hjälp av formeln $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Eftersom DC ska vara vinkelrät mot AB så kan du bestämma lutningen $k_{DC}$ för höjden DC genom sambandet $k_{AB}\cdot k_{DC}=-1$ .

När du väl vet lutningen så kan du bestämma ekvationen $y=k_{DC}x+m$ för den linje som DC ör en del av.

Slutligen så kan du beräkna koordinaterna för D som skärningspunkten mellan denna linje och den linje som AB är en del av.

Är detta rätt för AB? Och hur får jag fram höjden DC? Jag har punkten -2,-4 men hur vet jag bs koordinater?

Nej det stämmer inte.

Men jag kom på att du inte behöver beräkna $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ eftersom du redan i uppgiften har fått alla tre linjer givna.

En av dessa sammanfaller med basen AB.

15x+2y-49=0?

Ja, det är.den linjen.

Men hur räknar jag ut höjden? Jag har ju ingen linje där utan bara koordinaterna högst upp

Läs mina svar #17, #20 och #22 igen.

Fråga om de delar du inte förstår.

Jag vill inte störa i era räkningar, men sedan kan du jämföra med en tredje metod.
Du har beräknat koordinaterna för linjernas skärningspunkter.
Då har du även koordinaterna för hörnen i rektangeln som jag ritat in.
Och längderna på kateterna i de röda rätvinkliga trianglarna.
Du kanske förstår vart jag vill komma.

Jag förstår att jag ska använda avstångsfolmeln från där linjen h början till toppen. Toppens koordinater har jag, men hur ser jag koordinaterna där h börjar?

Alltså hur bestämmer jag D när jag har C?

Julialarsson321 skrev:
Alltså hur bestämmer jag D när jag har C?

Basen har riktningskoefficienten $k_{AB}=-\frac{15}{2}$ .

Du vet att höjden är vinkelrät mot basen. Det betyder att riktningskoefficienten $k_{DC}$ uppfyller sambandet $-\frac{15}{2}\cdot k_{DC}=-1$ , dvs $k_{DC}=\frac{2}{15}$ .

Efrerspm du känner till koordinaterna för punkt C så kan du nu bestämma ekvationen för den linje $y=k_{DC}x+m$ som höjden är en del av.

Sedan kan du bestämma koordinaterna för punkten D genom att hitta skärningspunkten mellan $y=k_{DC}x+m$ och $15x+2y-49=0$ .

Efter det kan du med hjälp av avständsformeln bestämma längden av DC, dvs höjden.

Sedan kan du beräkna arean med hjälp av formeln area = bh/2.

===========

Men den smarta metod som Louis antydde är mycket enklare än det vi har hållt på med hela tiden.

Jag föreslår att du byter spår och går på den metoden istället.

Alltså AB= -15/2 och CD = 2/15.

ekvationen för linjen får jag genom att hitta skärningspunkten förstår jag inte riktigt

y=Kdc+m sätter jag in 2/15 där?

förstår inte riktigt hur han menade heller, förlåt om jag är jobbig nu!!

Julialarsson321 skrev:
Alltså AB= -15/2 och CD = 2/15.

ekvationen för linjen får jag genom att hitta skärningspunkten förstår jag inte riktigt

Nej, jag skrev att du kan hitta koordinaterna för punkten D genom att hitta skärningspunkten mellan de två linjerna.

y=Kdc+m sätter jag in 2/15 där?

Det ska vara $y=k_{DC}\cdot x+m$ .

Om du ersätter $k_{DC}$ med 2/15 så får du ekvationen $y=\frac{2}{15}x+m$ .

Eftersom du känner till att punkten C ligger på den linjen så kan du sätta in koordinaterna för punkt C I ekvationen och därmed bestämma m.

Då har du bestämt linjens ekvation.

Det här är precis som vanligt när man ska bestämma ekvationen för en rät linje.

======== Den enklare metoden ======

förstår inte riktigt hur han menade heller

Ser du att Louis har ritat en rektangel runt den ofärgade triangeln och att rektangeln har sidlängderna 15 respektive 7?
Ser du att rektangeln kan delas in i fyra triangar: Dels den ofärgade i mitten (vars area vi vill berälna), dels tre röda trianglar runt denna?
Ser du att arean av den ofärgade triangeln därför kan beräknas som arean av rektangeln minus arean av de tre röda trianglarna?
Ser du att de tre röda trianglarna är rätvinkliga och därför enkla att areaberäkna?

Ja jag förstår allt men inte hur jag får fram sidorna på rektangel och trianglarna

Sidlängderna är angivna I bilden som Louis visade.

De är uträknade från koordinaterna hos den vita triangelns hörn (se bild nedan):

Hörn A har koordinaterna (5, -13). Alltså har rektangelns undre sida y-koordinaten -13 och rektangelns högra sida x-koordinaten 5.
Hörn B har koordinaterna (3, 2). Alltså har rektangelns övre sida y-koordinaten 2.
Hörn C har koordinaterna (-2, -4). Alltså har rektangelns vänstra sida x-koordinaten -2.

Rektangelns bredd blir därför 5-(-2) = 7.

Rektangelns höjd blir därför 2-(-13) = 15.

På samma sätt kan du bestämma längderna av de tre röda trianglarnas kateter.

Fattar att jag ska ta rektangels area - triangelns. Men hur får jag fram triangels area? Kan jag använda mig av sidorna jag fick fram genom avståndsformeln? Eller hur tar jag dem genom koordinaterna?

Julialarsson321 skrev:
Fattar att jag ska ta rektangels area - triangelns.

Nej, du ska ta rektangelns area minus arean av de tre röda trianglarna.

Men hur får jag fram triangels area?

Alla röda trianglar är rätvinkliga, vilket innebär att du kan använda bh/2 för att beräkna varje sådan area.

Eller hur tar jag dem genom koordinaterna?

Vi tar den övre vänstra röda triangeln som exempel (se bild i svar #36):

Eftersom punkt B har koordinaterna (3, 2) och punkt C har koordinaterna (-2, -4) så är den horisontella katetens längd 3-(-2) = 5 och den vertikala katetens längd 2-(-4) = 6.

Alltså är den övre vänstra röda triangelns area 5•6/2 = 15 a.e.

Gör på samma sätt dels för den nedre vänstra röda triangeln, dels för den högra röda triangeln.

Såhär?

Ja, fast du har fel tecken på en del ställen.

Alla längder måste vara positiva, liksom alla areor.

Så de blir 15+31,5+15= 61,5

105- 61,5 = 43.5

Ja, det stämmer. Bra kämpat!

Tack för hjälpen