Beräkna totala massan

Stoffer skrev :

En rak cirkulär kon med höjden 2 m och radien 1 m har spetsen nedåt och är fylld med en vätska. I ett plant snitt parallellt med konens bottenyta och på avståndet x m från konens spets är vätskans densitet $(10-x^2)$kg/m${}^3$. Bestäm vätskans totala massa.

 

Lösning:

Eftersom konen är fylld med vätska så är dess densitet enligt uppgiften $(10-2^2)kg/m^3=6kg/m^3$.

Konens volym är $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}{m}^3$ och då borde massan bli $densitet·volym=6·\frac{2\mathrm{\pi }}{3}=4\mathrm{\pi }$ kg, men facit säger $\frac{76}{15}\mathrm{\pi }$ kg.

Förmodligen ska integraler användas för uträkningen av svaret, men jag förstår inte varför min uträkning inte gäller. Det känns som att min läsförståelse fäller mig.

Densiteten är inte konstant utan den varierar med avståndet från spetsen enligt (10-x^2) kg/m^3.

Densiteten vid spetsen är alltså 10 kg/m^3 och vid basytan är den 10-2^2 = 6 kg/m^3.

Därför funkar inte din uträkning. Du måste integrera:

Ta fram ett uttryck för volymen av en vätskeskiva på avstånd x från spetsen.

Det blir en cirkulär skiva med en viss area och en tjocklek dx.

Om dx är tillräckligt liten så kan man anse att densiteten är konstant i denna skiva.

Därför kan du multiplicera skivans volym med densiteten vid den höjden och få ett massbidrag dM.

Sedan kan du integrera dessa massbidrag från spetsen till basytan för att få fram totalvikten.

Yngve skrev :

Densiteten är inte konstant utan den varierar med avståndet från spetsen. Därför funkar inte din uträkning.

Eftersom konen är fylld, så sker ju det plana snittet på botten, dvs 2 meter från spetsen. Det satte jag in i funktionen för densiteten.

Aha, nu förstår jag.

Stoffer skrev :

Aha, nu förstår jag.

Jag uppdaterade mitt första svar med ett förslag på lösningsmetod om du behöver mer hjälp på traven.

Yngve skrev :

Stoffer skrev :

Aha, nu förstår jag.

Jag uppdaterade mitt första svar med ett förslag på lösningsmetod om du behöver mer hjälp på traven.

Jag tror inte att det stämmer överens med mitt sätt att tänka. Blev ganska förvirrad. Men tack ändå! Har fortfarande inte löst uppgiften.

Stoffer skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

Stoffer skrev :

Aha, nu förstår jag.

Jag uppdaterade mitt första svar med ett förslag på lösningsmetod om du behöver mer hjälp på traven.

Jag tror inte att det stämmer överens med mitt sätt att tänka. Blev ganska förvirrad. Men tack ändå! Har fortfarande inte löst uppgiften.

Visa hur du försöker så kan vi hjälpa dig framåt i de tankebanorna.

Yngve skrev :

Visa hur du försöker så kan vi hjälpa dig framåt i de tankebanorna.

När man har en graf som visar i y-led hastigheten (sträcka/tid) och tiden i x-led så får man sträckan genom att "räkna ut arean" under grafen, dvs ${\int }_a^{b}v\left(t\right) dt$ där v(t) är hastigheten beroende på tiden t och a samt b är mellan vilka tidsintervall vi räknar på.

Så jag tänker att detsamma kan göras i denna uppgift, där man ersätter hastigheten med densiteten (massa/volym) och tid med volym och på så vis få ut massan. Om man gör detta så ser vi i uppgiften att vi redan har fått en funktion för hur densiteten varierar med x. Skulle man ta arean under denna kurva så räknar man ut det genom att ta 

${\int }_0^{2}10-x^2 dx$

men eftersom vi inte vill ha x i x-led, utan istället volymen V så får vi genomföra en substitution:

$$\begin{gathered} \left\{x=\frac{3}{2\mathrm{\pi }}V \\ V=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}x \\ dx=dV \\ x=2\iff V=\frac{4\mathrm{\pi }}{3} \\ x=0\iff V=0\right\} \end{gathered}$$

och då får vi istället integralen:

${\int }_0^{\frac{4\mathrm{\pi }}{3}}10-\frac{9}{4{\mathrm{\pi }}^2}{V}^2 dV={\left[10V-\frac{9}{4{\mathrm{\pi }}^2}·\frac{V^3}{3}\right]}_0^{\frac{4\mathrm{\pi }}{3}}=\frac{40\mathrm{\pi }}{3}-\frac{9}{4\mathrm{\pi }}·\frac{64{\mathrm{\pi }}^3}{27}=8\mathrm{\pi }$

Men detta stämmer inte.

jag ser nu att i substitutionen skulle jag sätta att $dx=\frac{3}{2\mathrm{\pi }}dV$ vilket leder till att svaret istället blir 12kg, vilket också är fel.

Om du tänker att du skär ut en liten skiva någonstans i konen (på höjden x), så blir arean av den skivan beroende av x. Om du skär ut en väldigt tunn skiva med tjockleken dx kan vi säga att volymen blir A*dx:

Om du sedan multiplicerar med densiteten får du varje litet massbidrag dm. Integrera sedan från 0 till h för att summera alla små "massbidrag".

 Hej!

Eftersom vätskans densitet varierar med vätskehöjden ($x$) så måste du använda integration för att bestämma vätskans massa.

På höjden $x$ meter från konens spets betraktar jag en tunn vätske-skiva vars tjocklek är $\text{d}x$ meter. Skivans radie är $r(x)$ meter (den varierar med höjden). Skivan är en rak cirkulär cylinder och dess volym är därför lika med $\pi r^2(x)\text{d}x$ kubikmeter. Skivans massa $\text{d}m(x)$ är lika med volymen gånger vätskans densitet $\rho(x)\ .$

    $\text{d}m(x) = \pi r^2(x)\rho(x)\,\text{d}x\ .$

Den totala massan som finns i konen fås genom att summera (integrera) alla tunna vätske-skivors massa.

    $m = \int_{0}^{2} \pi r^2(x)\rho(x)\,\text{d}x\ .$

Eftersom det rör sig om en rak cirkulär kon så kan radien $r(x)$ bestämmas genom att studera två likformiga trianglar: En vars bas är $1$ och höjd $2$ meter, och en triangel vars bas är $r(x)$ och höjd $x$ meter.

Albiki

Det var en mycket bra förklaring Albiki.

Albiki skrev :

Eftersom det rör sig om en rak cirkulär kon så kan radien $r(x)$ bestämmas genom att studera två likformiga trianglar: En vars bas är $1$ och höjd $2$ meter, och en triangel vars bas är $r(x)$ och höjd $x$ meter.

Hur menar du att man ska bestämma r(x) genom att studera de trianglarna?

Hej Stoffer!

Likformiga trianglar ger sambandet

    $\frac{r(x)}{x} = \frac{1}{2}$

från vilket du kan bestämma hur radien $r(x)$ beror av höjden $x\ .$

Albiki

Albiki skrev :

Hej Stoffer!

Likformiga trianglar ger sambandet

    $\frac{r(x)}{x} = \frac{1}{2}$

från vilket du kan bestämma hur radien $r(x)$ beror av höjden $x\ .$

Albiki

Såklart, tack! Förstår inte varför jag glömmer grundläggande geometri.