Beräkna summor! (Matematik/Matte 5/Kombinatorik)

Hur ska man gå tillväga, behöver lite hjälp?

Det står i Pluggakutens regler att man skall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. Dessutom står där att du skall visa hur du har försökt själv. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa din uppfigt själv, inte att någon skall servera dig en färdig lösning på dina problem. /moderator

Smaragdalena skrev :
Det står i Pluggakutens regler att man skall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. Dessutom står där att du skall visa hur du har försökt själv. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa din uppfigt själv, inte att någon skall servera dig en färdig lösning på dina problem. /moderator

haha, här har du igen inte fattat min fråga, har sagt att behöver lite hjälp å inte ge mig det fardiga löningen.

det här verkar mycket svår att beräkna,

Den första:

$(t + (1-t))^m$

Den första är Binomialsatsen:

$(x + y)^{n}$ $= \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{n - k} y^{k}$

vilket ger att a är $(t + (1 - t))^{m} = 1^{m} = 1$

kingbaby skrev :
det här verkar mycket svår att beräkna,

Hur har du tänkt hittills?

Vad har ni gått igenom för teori? Är det något du kan tillämpa här?

Aa, men jag vet inte om det är korrekt,

$(\begin{matrix} m \\ 0 \end{matrix}) t^{0} {(1 - t)}^{m - 0} = {(t + (1 - t))}^{m} = 1^{m} = 1$

vad ska man skriva istället för m och j, jag fattar inte, ska man välja ett positivt heltal, vilket som helst.

Hej, nu bumpar jag denna gamla tråden istället för att göra en ny :) Jag är helt med på att a) är binomialsatsen där (1-t) och (t) kan ses som a respektive b enligt (a+b)^n.

Men jag förstår inte riktigt hur j samt j^2, som tillkommer i fråga b respektive c, påverkar! Vill någon vägleda mig lite? :)

På B-uppgiften kan man använda identiteten:

$j (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) = m (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix})$

vilket ger:

${\sum j}_{j = 0}^{m} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) t^{j} (1 - t)^{j} = {\sum m}_{j = 0}^{m} (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix}) t^{j} (1 - t)^{j} = m \sum_{j = 0}^{m} (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix}) t^{j} (1 - t)^{j}$

Man kan sedan använda binomialsatsen om man trixar lite med gränserna.

AlvinB skrev:
På B-uppgiften kan man använda identiteten:
$j (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) = m (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix})$

Den där identiteten känner jag inte igen, är det en generell regel eller hur räknar du ut det?
Hur skiljer den sig när j höjs med 2? Sen undrar jag till sist, när du i slutet har brutit ut m till att stå utanför summatecknet, innebär det då att m ska multipliceras med summan sen då? Ursäktar ifall frågorna verkar dumma, men känner inte alls igen något av detta från uppgifter jag pluggat på i boken, så det är helt nytt för mig.

EDIT: Nu testade jag mig fram angående den där identiteten och märkte hur det funkade! Bra sätt att bryta ut m som är en konstant istället för j som ju går från 0 till m.

Hur menar du med att mixtra med gränserna? Ska jag byta mina gränser till j=1 och m= (m+1)? Får man göra så?
Då blir väl i så fall svaret m, gissar jag på? Eftersom det blir $m \times 1^{m}$

Jag härledde den där regeln på fläcken, likt med trigonometri är det ganska enkelt att hitta samband med binomialkoefficienter.

Jag skulle börja att med bryta ut den första termen ur summan (d.v.s. när j=0), sedan kan man ändra på gränserna för att få det till binomialsatsen.

AlvinB skrev:
Jag härledde den där regeln på fläcken, likt med trigonometri är det ganska enkelt att hitta samband med binomialkoefficienter.
Jag skulle börja att med bryta ut den första termen ur summan (d.v.s. när j=0), sedan kan man ändra på gränserna för att få det till binomialsatsen.

Snyggt! Jag ser inte det där på samma vis, men när jag prövade att utveckla såg jag hur det gick ihop.

Jag tror inte jag förstår riktigt hur jag ska kunna bryta ut den första termen, för jag vet inte hur jag ska behandla $(\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix})$ .

Men när jag bryter ut första termen j=0, då blir resterande en summa med undre gränsen j=1 va? Men övre gränsen blir fortfarande m, behöver jag mixtra med den på något vis också för att få ihop det?

Märkte också att du skrev om exponenten $(1 - t)^{m - j}$ till $(1 - t)^{j}$ , var detta ett skrivfel eller hur fick du fram det..?

KarlJohanG skrev:
Sen undrar jag till sist, när du i slutet har brutit ut m till att stå utanför summatecknet, innebär det då att m ska multipliceras med summan sen då?

Just precis. Du kan tänka dig att summan är en lång parentes som vi brutit ut m ur:

$(m \cdot x_{0} + m \cdot x_{1} + . . . + m \cdot x_{j - 1} + m \cdot x_{j}) = m (x_{0} + x_{1} + . . . + x_{j - 1} + x_{j})$

KarlJohanG skrev:
Märkte också att du skrev om exponenten $(1 - t)^{m - j}$ till $(1 - t)^{j}$ , var detta ett skrivfel eller hur fick du fram det..?

Det var ett slarvfel från min sida. :-)

Du har rätt i att om vi bryter ut $j=0$ -termen blir den undre gränsen $j=1$ . Man tar helt enkelt uttrycket och sätter in $j=0$ :

$m ((\begin{matrix} m - 1 \\ 0 - 1 \end{matrix}) t^{0} (1 - t)^{m - 0} + \sum_{j = 1}^{m} (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix}) t^{j} (1 - t)^{m - j})$

Eftersom binomialkoefficienter med negativa tal är lika med noll försvinner hela $j=0$ -termen, och vi får:

$m \sum_{j = 1}^{m} (\begin{matrix} m - 1 \\ j - 1 \end{matrix}) t^{j} (1 - t)^{m - j}$

För att använda binomialsatsen skulle vi nu vilja att summan började på noll och att det skulle stå $j$ istället för $j-1$ där nere i binomialkoefficienten. För att åstadkomma detta kan vi ändra på gränserna i summan. För att underlätta tänkandet kan vi införa ett variabelbyte så att $p=j-1$ . Då blir summans gränser $p=1-1=0$ och $p=m-1$ . Vi måste även byta ut $j$ -variabeln inuti summan. Vi kan lösa ut så att $j=p+1$ . Alltså ska vi byta ut $j$ mot $p+1$ :

$m \sum_{p = 0}^{m - 1} (\begin{matrix} m - 1 \\ p + 1 - 1 \end{matrix}) t^{p + 1} (1 - t)^{m - (p + 1)}$

Kan du se hur man kan använda binomialsatsen nu?

Snyggt, Tack!

Jag är med på att exponenten över (1-t) är (m-p-1) vilket är precis samma som differensen mellan (m-1) och (p+1-1) som vi har i bionomialkoefficienten.

Men det nedre talet i bionomialkoefficienten, p, borde vi väl vilja ha som exponent över t? istället för p+1 som det är nu. Om jag bara utgår ifrån hur bionomialsatsen brukar se ut. Allt annat du förklarat känner jag ändå att jag förstår och hänger med på, tusen tack för att du hjälper!

Du har helt rätt, allt är i sin ordning utom exponenten för $t$ . Hur kan vi omvandla $t^{p+1}$ till $t^p$ ?

Hint: $t^{p+1}=t^p\cdot t$ och $t$ är en konstant.

Aaaah! Så t kan brytas ut på samma vis som vi bröt ut m, och alltså har vi mt utanför summatecknet?

Just det. Sen är det bara att tillämpa binomialsatsen rakt av.

Fantastiskt, där är jag helt med! tack!

I C-uppgiften har vi ju ett j^2, man skulle ju kunna göra precis som i uppgift B, men då blir det kvar ett j utanför tillsammans med m och t, vilket jag antar att vi inte vill då det inte är en konstant. Ska man använda en liknande metod för att ”trolla bort” j^2 som vi gjorde i uppgift b, eller blir det en helt annan approach?

Använd samma metod en gång så du blir kvar med $j$ , sedan kan du tillämpa metoden ytterligare en gång för att bli av med det $j$ :et också.

Det blir lite annorlunda när du tillämpar andra gången, så man måste trixa lite extra, men börja själv och se hur långt du kommer.

Hejsan!

Nu bumpar jag denna gamla tråd ännu än gång.

Det är som du säger på uppgift C att det säkerligen är ett del trixande för att få bort det sista j:et, men jag hittar tyvärr ingen väg att göra det på, hur ska jag tänka?

Gör en ny tråd istället. Det stå i Pluggakutens regler att det bara skall vara en fråga i varje tråd, det borde vi ha varit strängare med förra gången. /moderator

Vi börjar precis som i uppgift b). Det ger:

$\displaystyle\sum_{j=0}^mj^2\begin{pmatrix}m\\j\end{pmatrix}t^j\left(1-t\right)^{m-j}=...=m\sum_{j=0}^mj\begin{pmatrix}m-1\\j-1\end{pmatrix}t^j\left(1-t\right)^{m-j}=$

Härifrån gör vi återigen variabelbytet $p=j-1$ och $j=p+1$ . Denna gången ger det:

$\displaystyle=m\sum_{p=0}^{m-1}\left(p+1\right)\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p}=$

Det finurliga är nu att vi kan veckla ut $(p+1)$ -parentesen och på så sätt dela upp alltsammans i två olika summor:

$\displaystyle=m\sum_{p=0}^{m-1}p\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p}+\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p}=$

$\displaystyle=m\sum_{p=0}^{m-1}(p\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p})+m\sum_{p=0}^{m-1}(\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p})=$

Den högra summan vet vi enligt b-uppgiften är lika med $mt$ , vilket ger:

$\displaystyle=mt+m\sum_{p=0}^{m-1}p\begin{pmatrix}m-1\\p\end{pmatrix}t^{p+1}\left(1-t\right)^{m-1-p}$

På denna kvarvarande summa går det att applicera samma trick som i b-uppgiften. Kommer du vidare då?

Förresten, är detta verkligen en Matte 5-uppgift? Om man lär sig så svåra saker i Matte 5 blir jag imponerad.