Beräkna summan s8.

Eftersom talföljden är geometrisk så gäller att $a_{n+1}=k\cdot a_n$.

Det betyder att $a_{n+2}=k^2\cdot a_n$.

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:

Eftersom talföljden är geometrisk så gäller att $a_{n+1}=k\cdot a_n$.

Det betyder att $a_{n+2}=k^2\cdot a_n$.

Kommer du vidare då?

Hej , tack för svar. jag förstår inte fortfarande, om jag fortsätta din formeln blir det kanske$$\begin{gathered} a_{n+8=k^8*a_n. men vet inte än värdet kvoten K och start värdet A. men om jag bara tänka mig} \\ att start värde a tillexempel blir {50}_1 hur man räkna också a_4? \\ multiplicera man nummret med start värde också? uppgiften i allmenhet \\ är komplicerat för mig. \end{gathered}$$ sista 

Det gäller i allmänhet att $a_{n+2}=k^2\cdot a_n$.

Om nu $n=3$ så är $n+2=5$ och då gäller alltså $a_5=k^2\cdot a_3$.

Eftersom du känner till både $a_3$ och $a_5$ så kan du nu beräkna de två möjliga värdena på $k$.

Kommer du vidare då?

Utnyttja att a₅/a₃ = k². Ser du varför det är så? Vilket värde har k?

Smaragdalena skrev:

Utnyttja att a₅/a₃ = k². Ser du varför det är så? Vilket värde har k?

Jag har gissat att a5/a3 och det blir 2,25 men det fanns inte a4 och det borde dividera a5/a4 . Nej jag vet inte.

Yngve skrev:

Det gäller i allmänhet att $a_{n+2}=k^2\cdot a_n$.

Om nu $n=3$ så är $n+2=5$ och då gäller alltså $a_5=k^2\cdot a_3$.

Eftersom du känner till både $a_3$ och $a_5$ så kan du nu beräkna de två möjliga värdena på $k$.

Kommer du vidare då?

Om jag stoppar siffran i di formeln blir det $$\begin{gathered} a_3=100 \\ {a}_5=225 \\ K=\frac{a_5}{a_2}=2,25 \\ Antal=8 \\ 225=2,{25}^8\times 100=svaret blir fel \end{gathered}$$

Nej, du har fått tipset att a₅/a₃ = k².

a₅/a₃ = 2,25.

Så k² = 2,25.

Hur mycket är k då?

Den här 8 tar vi hand om senare.

Laguna skrev:

Nej, du har fått tipset att a₅/a₃ = k².

a₅/a₃ = 2,25.

Så k² = 2,25.

Hur mycket är k då?

Den här 8 tar vi hand om senare.

okej! $$\begin{gathered} k^2=\sqrt{2,25 } = 1,5 \\ k= 1,5^8. men vdare fortfarande kan jag inte. \end{gathered}$$

k = 1,5, ja.

k är inte 1,5⁸.

Nu kan du räkna ut a₁.

Laguna skrev:

k = 1,5, ja.

k är inte 1,5⁸.

Nu kan du räkna ut a₁.

$$\begin{gathered} okej! om kvoten är 1,5 betyder a_2=\frac{100}{1,5} och a_1=\frac{a_2}{a_1}=ca 44,44 \\ 44,44\frac{(1,5^8-1)}{1,5-1}=2189. på facit också har samma svar. \end{gathered}$$

Det gäller allmänt att $a_n=a_1\cdot k^{n-1}$, vilket betyder att $a_1=\frac{a_n}{k^{n-1}}$.

Vidare har vi att $s_n=a_1\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$.

Eftersom $k^2=2,25$ så är $k=\pm1,5$.

Vi tar fallet $k=1,5$.

Med $a_3=100$ så får vi $a_1=\frac{100}{1,5^2}=\frac{100}{2,25}$.

Det ger oss $s_8=\frac{100}{2,25}\cdot\frac{1,5^8-1}{1,5-1}\approx2189$.

Men vad blir resultatet om $k=-1,5$?

Yngve skrev:

Det gäller allmänt att $a_n=a_1\cdot k^{n-1}$, vilket betyder att $a_1=\frac{a_n}{k^{n-1}}$.

Vidare har vi att $s_n=a_1\cdot\frac{k^n-1}{k-1}$.

Eftersom $k^2=2,25$ så är $k=\pm1,5$.

Vi tar fallet $k=1,5$.

Med $a_3=100$ så får vi $a_1=\frac{100}{1,5^2}=\frac{100}{2,25}$.

Det ger oss $s_8=\frac{100}{2,25}\cdot\frac{1,5^8-1}{1,5-1}\approx2189$.

Men vad blir resultatet om $k=-1,5$?

om på täljaren -1,5 vara inte i parentesen resultatet blir ca 473. men varför bör räkna 1,5 men inte -1,5?!! 

Det stämmer att k kan vara -1,5. Så vi har två möjliga svar på uppgiften. Rätt är att ge båda.