beräkna summan av serien

hej

jag ska beräkna summan av denna serie och har lite svårt att förstå hur man ska lösa uppgiften.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 2)} = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + . . .$

Man ska börja med att sätta $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ och sedan beräkna $S_{n}$ och vi får $S_{n} = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + . . . + \frac{1}{n (n + 2)}$ så långt är jag med men sedan ska detta vara lika med $S_{n} = \frac{1}{2} [\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + . . . + \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}]$ = $\frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}]$ och detta ska då ge att $S_{n} = \frac{3}{4}$

jag har lite svårt att förstå när man har med n i nämnaren, jag förstår inte hur man får fram $\frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}$

Om du tänker:

$\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 2}$

Hur tänker du sedan?

Är det steget $\frac{1}{n (n + 2)}$ = $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ som är oklart?

Laguna skrev:
Är det steget $\frac{1}{n (n + 2)}$ = $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ som är oklart?

ja, jag är inte med på varför vi får minustecknet och varför delar man med 2?

sedan är jag i uträkningen inte helt med på övergången från 1/6+...+1/(n-2) och fortsättningen med n-termerna

https://m.youtube.com/watch?v=Ecj7QBhzLB0

B.N. skrev:
Laguna skrev:
Är det steget $\frac{1}{n (n + 2)}$ = $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ som är oklart?
ja, jag är inte med på varför vi får minustecknet och varför delar man med 2?
sedan är jag i uträkningen inte helt med på övergången från 1/6+...+1/(n-2) och fortsättningen med n-termerna

Om du sätter termerna på gemensam nämnare så ser du varför högerledet är lika med vänsterledet. En annan sak är hur man kommer på att det ska vara just det högerledet. Det kallas partialbråk, och ett sätt att göra är att anta att det funkar med $\frac{a}{n} + \frac{b}{n + 2}$ och sen ta reda på vad a och b måste vara. Jag lärde mig faktiskt aldrig detta i nån kurs, utan från en annan bok.

Det de har gjort sen är skriver ut de första termerna i Sn (Sn är summan upp till n, det är den man ska ta reda på gränsvärdet av, det kallas partialsumma) och de sista. Då ser man att nästan allting tar ut varann.

B.N. skrev:
Laguna skrev:
Är det steget $\frac{1}{n (n + 2)}$ = $\frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ som är oklart?
ja, jag är inte med på varför vi får minustecknet och varför delar man med 2?
sedan är jag i uträkningen inte helt med på övergången från 1/6+...+1/(n-2) och fortsättningen med n-termerna

Den övergången kan förklaras med:

$\frac{1}{2} * ((" r e s t e n ") + {(\sum}_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n}) - (\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n + 2})) = . . .$

Hej!

Med en partialbråksuppdelning kan man skriva

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{0.5}{n} - \frac{0.5}{n+2}.$

Summera dessa differenser från $n=1$ till $n=N$ för att se att flera termer kan kancelleras.

$\frac{0.5}{1}-\frac{0.5}{3}+\frac{0.5}{2}-\frac{0.5}{4}+\frac{0.5}{3}-\frac{0.5}{5}+\cdots+\frac{0.5}{N}-\frac{0.5}{N+2} =$

$=0.5 + \frac{0.5}{2}-\frac{0.5}{N+1}-\frac{0.5}{N+2}.$

Svara

Visa senaste svar