Beräkna summan av samtliga lösningar

Vici skrev:

Hej! Har svårt att lösa denna uppgift: 

 

Ekvationen sin (2x − (π/2)) = 2 cos^2 x har flera lösningar i intervallet 0 < x < 2π.

Beräkna summan av samtliga lösningar i det intervallet.

 

Jag förenklade ekvationen till: 

-cos 2x = 2 cos^2 x

Utifrån det har jag löst ut vinkeln x på olika sätt med tan x, cos x, sin x och jag har fått 6 svar som är inom intervallet, men bara 4 vinklar är olika

(π/3) + n*π

(4π/3) + n*π

(π/4) + n*2π

(3π/3) + n*2π

(π/4) + n*2π

(π/3) + n*2π

Man ska ju sedan addera alla och svaret ska bli 4π, men när jag adderar alla 6 svar blir det 35π/12 och när jag adderar alla 4 svar blir det 28π/12

Jag förstår inte hur jag ska få mer än detta, på facit står det att man får A poäng om man "summerar de fyra vinklarna korrekt" men jag har redan fått 4 vinklar och svaret blev inte 4π.

Tacksam för hjälp

Jag la in ekvationen i Wolframalpha och de gav inga svar med pi/4. Eftersom du inte visar hur du har räknat är det svårt att veta vad som har blivit fel.

Smaragdalena skrev:

Vici skrev:

Hej! Har svårt att lösa denna uppgift: 

 

Ekvationen sin (2x − (π/2)) = 2 cos^2 x har flera lösningar i intervallet 0 < x < 2π.

Beräkna summan av samtliga lösningar i det intervallet.

 

Jag förenklade ekvationen till: 

-cos 2x = 2 cos^2 x

Utifrån det har jag löst ut vinkeln x på olika sätt med tan x, cos x, sin x och jag har fått 6 svar som är inom intervallet, men bara 4 vinklar är olika

(π/3) + n*π

(4π/3) + n*π

(π/4) + n*2π

(3π/3) + n*2π

(π/4) + n*2π

(π/3) + n*2π

Man ska ju sedan addera alla och svaret ska bli 4π, men när jag adderar alla 6 svar blir det 35π/12 och när jag adderar alla 4 svar blir det 28π/12

Jag förstår inte hur jag ska få mer än detta, på facit står det att man får A poäng om man "summerar de fyra vinklarna korrekt" men jag har redan fått 4 vinklar och svaret blev inte 4π.

Tacksam för hjälp

Jag la in ekvationen i Wolframalpha och de gav inga svar med pi/4. Eftersom du inte visar hur du har räknat är det svårt att veta vad som har blivit fel.

Tack du har rätt, jag gjorde ett slarvfel när jag fick svaret pi/4. 

Men nu när jag har räknat om igen fick jag 5 svar och när jag adderar dem blir svaret 3pi, så jag har missat något mer men vet inte vad. 

Här är min uträkning:

Har jag gjort något fel?

När du går från $\tan^2x = 3$ till $\tan x = \sqrt{3}$ så introducerar du en falsk rot.

Prova att sätta in $\pi/3$ i den ursprungliga ekvationen.

Laguna skrev:

När du går från $\tan^2x = 3$ till $\tan x = \sqrt{3}$ så introducerar du en falsk rot.

Prova att sätta in $\pi/3$ i den ursprungliga ekvationen.

Så är min 3:e lösning också fel? För jag fick också pi/3 när jag löste ut cos x = 1/2

Ja, du har en kvadrat där, så du vet inte om cos(x) är 1/2 eller -1/2 eller båda.

Laguna skrev:

Ja, du har en kvadrat där, så du vet inte om cos(x) är 1/2 eller -1/2 eller båda.

Hur ska jag veta vilken det är?

Du får sätta in i den ursprungliga ekvationen.

Men ett sätt att slippa kvadraterna är att skriva om cos²x med hjälp av formeln för cos(2x).

Laguna skrev:

Du får sätta in i den ursprungliga ekvationen.

Men ett sätt att slippa kvadraterna är att skriva om cos²x med hjälp av formeln för cos(2x).

Kan du ge ett exempel? Jag testade lite och det verkar alltid sluta med att man måste kvadrera

Laguna skrev:

Du får sätta in i den ursprungliga ekvationen.

Men ett sätt att slippa kvadraterna är att skriva om cos²x med hjälp av formeln för cos(2x).

Eller glöm det jag sa, jag löste uppgiften nu. Jag överkomplicerade den och man behövde inte lösa den på flera olika sätt utan det räckte med att lösa det på 1 sätt och få 4 vinklar från det.