beräkna summan av antalet möjliga kombinationer
betrakta alla sexsiffriga tal du kan bilda med hjälp av siffrorna 1,2,3,4,5,6 (varje siffra ingår precis en gång i varje tal) Beräkna summan av dessa tal.
mitt svar är 6*5*4*3*2*1=720
6+5+4+3+2+1= 21
720 * 21=15120
är det rätt eller har jag missat nåt?
Några av "alla sexsiffriga tal du kan bilda med hjälp av siffrorna 1,2,3,4,5,6" är:
654321
645321 (och detta är endast ett fåtal....)
635421
Summan av dessa är bra mycket mer än 15120
Summan av de sexsiffriga talen kan inte bli femsiffrig. Det är alltså summan 123456 + 123465 + ... + 654321 som ska beräknas, och den kan ju inte bli 15 120, det är alldeles för lite. Men att det är 720 st sexsiffriga tal ser rätt ut.
Strax under 80000000 kom jag fram till
jag hade inte läst uppgiften noga, nu låter det här problemet nästan omöjligt. Hittills har jag beräknat summan för 5 tal (123456, 123465 .... osv) tills jag fick sex i hundratusental. Men jag tror att man kan räkna ut det på ett enklare sätt....
Ja, det går att göra enklare.
Siffrorna 1 2 3 4 5 6 kan placeras ut i sexsiffriga tal på 720 olika sätt som du också skrev i början.
Då kommer 720/6 av dessa att ha 1:an i entalspositionen
720/6 av dessa att ha 1:an i tiotalspositionen
720/6 av dessa att ha 1:an i hundratalspositionen
osv......
Va, nu hänger jag inte med.
Tänk lite till på det
Om du skulle skriva upp alla 720 talen under varandra (hemska tanke)
så skulle det ju stå 720 siffror i sex kolumner.
Den längst till höger av dessa sex kolumner innehåller ental
I den kommer att finnas 120 stycken 1:or och lika många 2:or 3:or 4:or 5:or och 6:or
Är du med på det?
Samma gäller för de andra fem kolumnerna.
Börja titta på tresiffriga tal. Du har:
123 = 1*100 + 2*10 + 3*1
132 = 1*100 + 3*10 + 2*1
213 = 2*100 + 1*10 + 3*1
231 = 2*100 + 3*10 + 1*1
312 = 3*100 + 1*10 + 2*1
321 = 3*100 + 2*10 + 1*1
som du ser har du 3 st 1*100 och 3 st 2*100 o.s.v. Vilket ger dig:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1
Pust, fortfarande jobbigt, men vi kan skriva om det:
2(1*100+2*100+3*100+1*10+2*10+3*10+1*1+2*1+3*1)=
2(600+60+6)=2*666=1332
Du har alltså 6/3 av talen som har 1:an i entalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i tiotalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i hundratalspositionen
vidare har du såklart:
6/3 av talen som har 2:an i hundratalspositionen
etc, etc vilket gav uträkningen ovan.
Du kan tänka likadant på din uppgift. Som larsolof skrev.
joculator skrev:Börja titta på tresiffriga tal. Du har:
123 = 1*100 + 2*10 + 3*1
132 = 1*100 + 3*10 + 2*1
213 = 2*100 + 1*10 + 3*1
231 = 2*100 + 3*10 + 1*1
312 = 3*100 + 1*10 + 2*1
321 = 3*100 + 2*10 + 1*1som du ser har du 3 st 1*100 och 3 st 2*100 o.s.v. Vilket ger dig:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1Pust, fortfarande jobbigt, men vi kan skriva om det:
2(1*100+2*100+3*100+1*10+2*10+3*10+1*1+2*1+3*1)=
2(600+60+6)=2*666=1332Du har alltså 6/3 av talen som har 1:an i entalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i tiotalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i hundratalspositionen
vidare har du såklart:
6/3 av talen som har 2:an i hundratalspositionen
etc, etc vilket gav uträkningen ovan.
Du kan tänka likadant på din uppgift. Som larsolof skrev.
man kan också tänka så här:
var och en av de tre kolumnerna innehåller 1 1 2 2 3 3 (fast i olika ordning)
summan i varje kolumn blir = 12
slutsumman = 12*100 + 12*10 + 12*1 = 12 * 111 = 1322
larsolof skrev:Tänk lite till på det
Om du skulle skriva upp alla 720 talen under varandra (hemska tanke)
så skulle det ju stå 720 siffror i sex kolumner.
Den längst till höger av dessa sex kolumner innehåller ental
I den kommer att finnas 120 stycken 1:or och lika många 2:or 3:or 4:or 5:or och 6:or
Är du med på det?
Samma gäller för de andra fem kolumnerna.
jag försöker förstå det bättre, kan jag på något sätt räkna ut 120 kombinationer där 1 är ental.
Läs det enklare exempel med 1 2 3 som joculator skrivit ovan.
larsolof skrev:Läs det enklare exempel med 1 2 3 som joculator skrivit ovan.
Ja, jag har kollat genom den och förstår uträkningen men jag förstår inte hur jag ska koppla det till mitt problem. För att jag vill bevisa med en uträkning att det finns exakt 720/6= 120.
att t.ex första siffran kan vi välja på ett sätt 1 andra på 5 osv
1*5*4*3*2*1= 120 stycken.
så 120 st som har 1 hundratusental, dock förstår jag fortfarande inte hur jag ska lösa uppgiften.
joculator skrev:Börja titta på tresiffriga tal. Du har:
123 = 1*100 + 2*10 + 3*1
132 = 1*100 + 3*10 + 2*1
213 = 2*100 + 1*10 + 3*1
231 = 2*100 + 3*10 + 1*1
312 = 3*100 + 1*10 + 2*1
321 = 3*100 + 2*10 + 1*1som du ser har du 3 st 1*100 och 3 st 2*100 o.s.v. Vilket ger dig:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1Pust, fortfarande jobbigt, men vi kan skriva om det:
2(1*100+2*100+3*100+1*10+2*10+3*10+1*1+2*1+3*1)=
2(600+60+6)=2*666=1332Du har alltså 6/3 av talen som har 1:an i entalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i tiotalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i hundratalspositionen
vidare har du såklart:
6/3 av talen som har 2:an i hundratalspositionen
etc, etc vilket gav uträkningen ovan.
Du kan tänka likadant på din uppgift. Som larsolof skrev.
det är väl inte 3 st 1*100 utan 2? Och samma med 2*100 det är 2 st inte 3?
Nichrome skrev:joculator skrev:Börja titta på tresiffriga tal. Du har:
123 = 1*100 + 2*10 + 3*1
132 = 1*100 + 3*10 + 2*1
213 = 2*100 + 1*10 + 3*1
231 = 2*100 + 3*10 + 1*1
312 = 3*100 + 1*10 + 2*1
321 = 3*100 + 2*10 + 1*1som du ser har du 3 st 1*100 och 3 st 2*100 o.s.v. Vilket ger dig:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1Pust, fortfarande jobbigt, men vi kan skriva om det:
2(1*100+2*100+3*100+1*10+2*10+3*10+1*1+2*1+3*1)=
2(600+60+6)=2*666=1332Du har alltså 6/3 av talen som har 1:an i entalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i tiotalspositionen
6/3 av talen som har 1:an i hundratalspositionen
vidare har du såklart:
6/3 av talen som har 2:an i hundratalspositionen
etc, etc vilket gav uträkningen ovan.
Du kan tänka likadant på din uppgift. Som larsolof skrev.
det är väl inte 3 st 1*100 utan 2? Och samma med 2*100 det är 2 st inte 3?
Du har rätt i det. Det ska stå "som du ser har du 2 st 1*100 och 2 st 2*100 o.s.v. Vilket ger dig:
Men nästa rad är rätt, och därefter:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1
Ja, jag hänger med men jag förstår fortfarande inte hur det kan hjälpa...
Nichrome skrev:Ja, jag hänger med men jag förstår fortfarande inte hur det kan hjälpa...
Om du summerar allt detta:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1
så blir det samma slutsumma som om du summerar 123+132+213+231+312+321
Samma metod kan du tillämpa på din uppgift med sex-siffriga tal
Nichrome skrev:
det är väl inte 3 st 1*100 utan 2? Och samma med 2*100 det är 2 st inte 3?
Jag ber om ursäkt för min felskrivning. Snyggt att du upptäckte!
Men nästa rad är rätt, och därefter.
larsolof skrev:Nichrome skrev:Ja, jag hänger med men jag förstår fortfarande inte hur det kan hjälpa...
Om du summerar allt detta:
2*1*100+2*2*100+2*3*100 + 2*1*10 + 2*2*10 + 2*3*10 + 2*1*1 + 2*2*1 + 2*3*1
så blir det samma slutsumma som om du summerar 123+132+213+231+312+321
Samma metod kan du tillämpa på din uppgift med sex-siffriga tal
Jag fattar verkligen ingenting av det här. Det enda jag förstår är att det finns precis 120 tal som börjar med 1, 120 tal som börjar med 2 etc...
så 120*100 000 + 120*200 000 + 130*300 000 + 120*400 000 + 120*500 000 + 120*600 000
men längre än så kommer jag inte...
Du börjar ju rätt när du skriver så här:
120*100 000 + 120*200 000 + 120*300 000 + 120*400 000 + 120*500 000 + 120*600 000 = blir hur mycket?
Det ovan utgör summan av alla 720 siffror som står i 100000-talskolumnen.
Gör sedan lika för av alla 720 siffror som står i var och en av de övriga fem kolumnerna:
summan av 10000-talskolumnen: 120*10 000 + 120*20 000 + 120*30 000 + 120*40 000 + 120*50 000 + 120*60 000
summan av 1000-talskolumnen: 120*1 000 + 120*2 000 + 120*3 000 + 120*4 000 + 120*5 000 + 120*6 000
summan av 100-talskolumnen: 120*100 + 120*200 + 120*300 + 120*400 + 120*500 + 120*600
summan av 10-talskolumnen: 120*10 + 120*20 + 120*30 + 120*40 + 120*50 + 120*60
summan av 1-talskolumnen: 120*1 + 120*2 + 120*3 + 120*4 + 120*5 + 120*6
Kan man faktorisera den här uträkningen istället för att skriva alla termer?
Nichrome skrev:Kan man faktorisera den här uträkningen istället för att skriva alla termer?
120*1 + 120*2 + 120*3 + 120*4 + 120*5 + 120*6 = 120*(1+2+3+4+5+6) = 120*21=2520
samma metod för de andra fem
