9 svar
458 visningar
Kanelbullen behöver inte mer hjälp
Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2020 12:59 Redigerad: 20 nov 2020 13:01

Beräkna summa med hjälp av binomialsatsen för p^2, 28 över p

Hej!

Jag skulle behöva hjälp att beräkna summan 

S=p=128p228p.

Jag vill utnyttja binomialsatsen, men måste justera lite utifrån en annan uppgift som jag räknade och fick hjälp med här på pluggakuten tidigare.

Där det nu står p2 hade jag i en tidigare uppgift p(p-1) =p2-p.

Ok, hur ska jag nu gå tillväga om jag vill använda denna metod:

Börja med "halva binomialsatsen"

(1+x)n=p=0nnpxp

och sedan derivera båda leden två gånger.

Jag antar att VL inte ska vara (1+x)n nu när jag har p2  i stället för p2-p direkt efter summatecknet?

Hur ska jag göra?

AlvinB 4014
Postad: 20 nov 2020 13:22

Jag ser att du redan hittat den här tråden:

https://www.pluggakuten.se/trad/berakna-summa-7/

Vi kan, som du verkar ha förstått, använda en liknande metod här. Börja som i den andra tråden med

1+xn=p=0nnpxp\displaystyle\left(1+x\right)^n=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}x^p

och derivera en gång m.a.p. xx:

n1+xn-1=p=0nnppxp-1\displaystyle n\left(1+x\right)^{n-1}=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}px^{p-1}

Nu vill vi inte derivera en gång till direkt eftersom vi då får p2-pp^2-p istället för bara p2p^2. Men kolla vad som händer om vi först multiplicerar båda led med xx:

n1+xn-1·x=p=0nnppxp-1·x\displaystyle n\left(1+x\right)^{n-1}\cdot x=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}px^{p-1}\cdot x

nx1+xn-1=p=0nnppxp\displaystyle nx\left(1+x\right)^{n-1}=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}px^p

Vad händer nu om du deriverar nu?

Bedinsis 2894
Postad: 20 nov 2020 13:23

I ärlighetens namn visste jag själv inte hur man skall lösa detta. Därför besökte jag tråden du pratade om. I det länkade inlägget går kalaskull igenom hur man omvandlar p2 till en form som gör att man kan utnyttja binomialsatsen(efter att ha delat upp (p2-p) i två bitar med p2 och p). Om du förstår det själv(jag gör det inte) så borde väl uppgiften gå att lösa.

AlvinB 4014
Postad: 20 nov 2020 14:03 Redigerad: 20 nov 2020 14:03

Observera att Smutsmunnens mycket eleganta lösning med dubbelräkning i den andra tråden även går att anpassa till denna uppgift.

Summan kan sägas vara antalet sätt att välja ut en styrelse på pp personer bland 25 och därefter utse en ordförande och en sekreterare, men till skillnad från Smutsmunnen låter vi en och samma person kunna ha båda uppgifter samtidigt (därav p·p=p2p\cdot p=p^2 val av sekreterare och ordförande).

Vi kan räkna ut samma antal sätt genom att först välja sekreterare och ordförande och sedan välja vilka av de övriga att inkludera i styrelsen. Är ordförande och sekreterare olika personer finns det 28·27·22628\cdot 27\cdot2^{26} sätt att välja ut en styrelse och är det samma person på båda poster finns det 28·22728\cdot2^{27} sätt att välja ut en styrelse. Det följer alltså att summan är lika med

28·27·226+28·227=28·226(27+2)=29·28·22628\cdot27\cdot2^{26}+28\cdot2^{27}=28\cdot 2^{26}(27+2)=29\cdot28\cdot2^{26}.

Detta är samma svar som man får med deriveringsmetoden.

Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2020 14:25 Redigerad: 20 nov 2020 14:32

nx(n-1)(1+x)n-2=p=028npp2xp-1

fick jag när jag deriverade på nytt efter att ha multiplicerat med x.

När p=0 blir summan noll, så jag kan tänka att summan är densamma om jag skriver p=1 under summatecknet.

Men om jag nu sätter in x=1 och n=28 så blir det inte rätt. Det är fortfarande något steg som fattas. Vad?

AlvinB 4014
Postad: 20 nov 2020 14:38
Kanelbullen skrev:

nx(n-1)(1+x)n-2=p=028npp2xp-1

fick jag när jag deriverade på nytt efter att ha multiplicerat med x.

När p=0 blir summan noll, så jag kan tänka att summan är densamma om jag skriver p=1 under summatecknet.

Men om jag nu sätter in x=1 och n=28 så blir det inte rätt. Det är fortfarande något steg som fattas. Vad?

Du har deriverat vänsterledet fel. Du måste ju använda produktregeln eftersom både nxnx och (1+x)n-1(1+x)^{n-1} beror av xx.

Smutsmunnen 1050
Postad: 20 nov 2020 14:45
Kanelbullen skrev:

nx(n-1)(1+x)n-2=p=028npp2xp-1

fick jag när jag deriverade på nytt efter att ha multiplicerat med x.

När p=0 blir summan noll, så jag kan tänka att summan är densamma om jag skriver p=1 under summatecknet.

Men om jag nu sätter in x=1 och n=28 så blir det inte rätt. Det är fortfarande något steg som fattas. Vad?

Men också: mind the summationsindex!

Kommer du verkligen få en term med x^(-1)?

Kanelbullen 356
Postad: 20 nov 2020 16:42 Redigerad: 20 nov 2020 17:09

Hej!

Tack så mycket för era svar.

AlvinB, jag kom på att jag deriverat fel när jag var ute och gick. Tack även för den kombinatoriska lösningen som du förklarade så bra.

Enligt produktregeln ska VL deriveras som följer:

n·(1+x)n-1+nx·(n-1)(1+x)n-2.

Sätter jag in x=1, n=28 så får jag nu det rätta svaret.

Smutsmunnen, du har rätt i att jag inte får någon term med x-1i HL när p=1, för då blir ju exponenten 0 och värdet är därmed 1. Är det så du menar? Hur kan man få bort x-termen för alla andra p? Jag har väl inte deriverat fel i HL också?

 

 

Kanelbullen 356
Postad: 21 nov 2020 06:54

Jag har deriverat HL rätt. Jag inser nu vad Smutsmunnen menade med att titta på indexeringen.

Eftersom vi inte har p=0, utan endast p=1 och upp till och med 28, så kommer vi aldrig få det fallet att x är upphöjt till något negativt. Antingen är x upphöjt till 0 och då är värdet 1, eller så är x upphöjt till något positivt. Eftersom x=1, så kommer värdet att vara 1 för alla p. Därför ”försvinner” den delen ax termen som består av x.

AlvinB 4014
Postad: 21 nov 2020 23:25
Smutsmunnen skrev:
Kanelbullen skrev:

nx(n-1)(1+x)n-2=p=028npp2xp-1

fick jag när jag deriverade på nytt efter att ha multiplicerat med x.

När p=0 blir summan noll, så jag kan tänka att summan är densamma om jag skriver p=1 under summatecknet.

Men om jag nu sätter in x=1 och n=28 så blir det inte rätt. Det är fortfarande något steg som fattas. Vad?

Men också: mind the summationsindex!

Kommer du verkligen få en term med x^(-1)?

Egentligen är det ju inte fel att skriva så, eftersom du har faktorn p=0p=0 framför i det fallet vilket gör att hela termen blir noll. :-)

Svara
Close