Beräkna sträckor i en romb

MD är a sin 60.

Okej, men kan man verkligen anta att MD är vinkelrät mot AB? Annars gäller det ju inte att sin 60=MD/a.

Sträckan AD = a

sträckan MA = a/2

Vinkeln MAD är 60 grader

Därav följer att triangeln MAD är en halv liksidig triangel där sträckan MD skulle vara höjd.

Rita och fundera lite så klarnar det nog

Ture skrev :

Sträckan AD = a

sträckan MA = a/2

Vinkeln MAD är 60 grader

Därav följer att triangeln MAD är en halv liksidig triangel där sträckan MD skulle vara höjd.

Rita och fundera lite så klarnar det nog

 

 Tack! Dock förstår jag inte hur man vet att MD (och MC) är vinkelrät mot AB? För om MD ska vara höjden i den ena triangeln måste den ju vara vinkelrät mot AB. 

Rita upp en liksidig triangelmed sida a, rita också in höjden och sätt ut de olika sidornas sträckor och alla vinklar och jämför med figuren i den här uppgiften

**LÖSNING**

Initialt, definierar vi $\left|MD\right|$ :

$$\begin{gathered} {\left|MD\right|}^2 :={\left|AM\right|}^2+{\left|AD\right|}^2-2\left|AM\right|\left|AD\right|\cos \left(a_0\right) \Rightarrow ... insätter variabel \text{'}a\text{'} \\ ... \Rightarrow {\left|MD\right|}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2-2·\left(\frac{a}{2}\right)·a·\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{a^2}{4}+a^2-a^2·\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = ... \\ ... = \frac{5a^2}{4}-a^2·\frac{1}{2} = \frac{5a^2}{4}- \frac{a^2}{2}\iff \frac{3}{4}{a}^2; obs: \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{1}{2} \\ \therefore {\left|MD\right|}^2=\frac{3}{4}{a}^2 \Rightarrow \left|MD\right| = \frac{\sqrt{3}}{2}a . (negativ negligeras, i.o.m reell geometrisk entitet) \end{gathered}$$ 

Likaledes, definierar vi $\left|MC\right|$ : 

$$\begin{gathered} {\left|MC\right|}^2 :={\left|BM\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\left|BM\right|\left|BC\right|\cos \left(b_0\right) \Rightarrow ... insätter variabel \text{'}a\text{'} \\ ... \Rightarrow {\left|MC\right|}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2-2·\left(\frac{a}{2}\right)·a·\cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) \Rightarrow \frac{a^2}{4}+a^2+\left(a^2·\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) \right) = ... obs: \cos \left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) = -c\mathrm{os}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) \\ ... = \frac{5a^2}{4}+a^2·\frac{1}{2} = \frac{5a^2}{4}+ \frac{a^2}{2}\iff \frac{7}{4}{a}^2 ; \\ \therefore {\left|MD\right|}^2=\frac{7}{4}{a}^2 \Rightarrow \left|MD\right| = \frac{\sqrt{7}}{2}a . (negativ negligeras...) \end{gathered}$$

Observera: $\angle a_0:=\angle A \& \angle b_0:=\angle B$      (vinklarna roteras i punkterna A respektive B, alltså)

Summan av de två längderna ges då som: 

$\sum _{}\left|Mi\right|:=\hspace{0.17em}\left|MC\right|+\left|MD\right| :\Rightarrow \frac{\sqrt{7}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}a \iff a\left(\frac{\sqrt{7}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \iff \frac{a}{2}\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right) \square .$        

Vilket enligt facit för MAFY 2015 års prov, #28 för matematikdelen B, är korrekt. 

// MVH Aiyangar

Aiyangar skrev :

 

**LÖSNING**

 

Initialt, definierar vi MD :

MD2 :=AM2+AD2-2AMADcos(a0)   ⇒   ... insätter variabel 'a'...   ⇒   MD2=a22+a2-2·a2·a·cosπ3 = a24+a2-a2·cosπ3   =   ......   = 5a24-a2·12 = 5a24- a22⇔34a2;       obs:     cosπ3 = 12∴     MD2=34a2  ⇒ MD = 32a .     (negativ negligeras, i.o.m reell geometrisk entitet)  

 

Likaledes, definierar vi MC : 

 

MC2 :=BM2+BC2-2BMBCcos(b0)   ⇒   ... insätter variabel 'a'...   ⇒   MC2=a22+a2-2·a2·a·cos2π3 ⇒ a24+a2+a2·cosπ3   =   ...  obs:  cos2π3 = -cosπ3...   = 5a24+a2·12 = 5a24+ a22⇔74a2 ;       ∴     MD2=74a2  ⇒ MD = 72a .     (negativ negligeras...) 

 

Observera: ∠a0:=∠A & ∠b0:=∠B      (vinklarna roteras i punkterna A respektive B, alltså)

 

Summan av de två längderna ges då som: 

∑Mi:= MC+MD :⇒ 72a+32a ⇔ a72+32 ⇔ a27+3     □.        

 

Vilket enligt facit för MAFY 2015 års prov, #28 för matematikdelen B, är korrekt. 

 

// MVH Aiyangar

Okej! Tack så mycket! 

Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1. /Kajsa, admin