Beräkna sträckor i en romb
Hej!
Sitter med en uppgift från Chalmers/KTHs matte- och fysikprovet:
Romben ABCD har sidlängd a och vinkel 60° vid hörnet A. Om M är mittpunkten på sidan AB, bestäm längderna av sträckorna MC och MD. Ange summan av de två längderna.
Jag ritade en figur på hur jag tolkar det:
Jag tänkte såhär: Eftersom vinkelsumman i en fyrhörning är 360° och motstående vinklar är lika så kan jag genom det få ut samtliga vinklar, 2 st 60° och 2 st 120°. Sen tänkte jag att jag med cosinussatsen på trianglarna AMD och MBC kunde få ut sidorna MC och MD, uttryckt i a. Det blev dock fel. Kan hända att jag gjort nåt fel nånstans, men någon som har nån annan strategi/nåt tips?
MD är a sin 60.
Okej, men kan man verkligen anta att MD är vinkelrät mot AB? Annars gäller det ju inte att sin 60=MD/a.
Sträckan AD = a
sträckan MA = a/2
Vinkeln MAD är 60 grader
Därav följer att triangeln MAD är en halv liksidig triangel där sträckan MD skulle vara höjd.
Rita och fundera lite så klarnar det nog
Ture skrev :Sträckan AD = a
sträckan MA = a/2
Vinkeln MAD är 60 grader
Därav följer att triangeln MAD är en halv liksidig triangel där sträckan MD skulle vara höjd.
Rita och fundera lite så klarnar det nog
Tack! Dock förstår jag inte hur man vet att MD (och MC) är vinkelrät mot AB? För om MD ska vara höjden i den ena triangeln måste den ju vara vinkelrät mot AB.
Rita upp en liksidig triangelmed sida a, rita också in höjden och sätt ut de olika sidornas sträckor och alla vinklar och jämför med figuren i den här uppgiften
**LÖSNING**
Initialt, definierar vi :
Likaledes, definierar vi :
Observera: (vinklarna roteras i punkterna A respektive B, alltså)
Summan av de två längderna ges då som:
Vilket enligt facit för MAFY 2015 års prov, #28 för matematikdelen B, är korrekt.
// MVH Aiyangar
Aiyangar skrev :
**LÖSNING**
Initialt, definierar vi MD :
MD2 :=AM2+AD2-2AMADcos(a0) ⇒ ... insätter variabel 'a'... ⇒ MD2=a22+a2-2·a2·a·cosπ3 = a24+a2-a2·cosπ3 = ...... = 5a24-a2·12 = 5a24- a22⇔34a2; obs: cosπ3 = 12∴ MD2=34a2 ⇒ MD = 32a . (negativ negligeras, i.o.m reell geometrisk entitet)
Likaledes, definierar vi MC :
MC2 :=BM2+BC2-2BMBCcos(b0) ⇒ ... insätter variabel 'a'... ⇒ MC2=a22+a2-2·a2·a·cos2π3 ⇒ a24+a2+a2·cosπ3 = ... obs: cos2π3 = -cosπ3... = 5a24+a2·12 = 5a24+ a22⇔74a2 ; ∴ MD2=74a2 ⇒ MD = 72a . (negativ negligeras...)
Observera: ∠a0:=∠A & ∠b0:=∠B (vinklarna roteras i punkterna A respektive B, alltså)
Summan av de två längderna ges då som:
∑Mi:= MC+MD :⇒ 72a+32a ⇔ a72+32 ⇔ a27+3 □.
Vilket enligt facit för MAFY 2015 års prov, #28 för matematikdelen B, är korrekt.
// MVH Aiyangar
Okej! Tack så mycket!
Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1. /Kajsa, admin