Beräkna största hastighet i svängningsrörelse

Taru skrev:

Frågan lyder följande:

När Stefan hänger en 450g-vikt i sin 15.2 cm långa fjäder blir fjäderns förlängning 7.8 cm. Han drar ned fjädern så att den förlängs ytterligare 4.6 cm. Sedan släpper han taget om vikten och låter systemet svänga.

a) Vilken svängningstid kan han förvänta sig?

Räknar ut $T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{0.078}{9.82}\approx 0.56}\mathrm{s}$

Jag gissar att du tog formeln för svängningstid av en pendel.

Detta är inte en pendel.

Pieter Kuiper skrev:

Taru skrev:

Frågan lyder följande:

När Stefan hänger en 450g-vikt i sin 15.2 cm långa fjäder blir fjäderns förlängning 7.8 cm. Han drar ned fjädern så att den förlängs ytterligare 4.6 cm. Sedan släpper han taget om vikten och låter systemet svänga.

a) Vilken svängningstid kan han förvänta sig?

Räknar ut $T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\frac{0.078}{9.82}\approx 0.56}\mathrm{s}$

Jag gissar att du tog formeln för svängningstid av en pendel.

Detta är inte en pendel.

Jaha, oj. Vilken formel ska jag använda?

Använd formeln du angav i b). Dessutom har vi att  $\omega =\frac{2\pi }{T}$. k-värdet får du lista ut med hjälp av informationen i problemtexten.

Det fungerade, men hittar dock inte $\omega =\frac{2\mathrm{\pi }}{T}$i formelboken.

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \to \omega =\sqrt{\frac{56.65}{0.450}}=11.22$och tar sedan $\omega =\frac{2\pi }{T}\to T=\frac{2\pi }{\omega }\to 11.22=\frac{2\mathrm{\pi }}{11.20}\approx 0.56 s$

Förstår fortfarande inte hur jag löser största hastigheten (fråga b)

$y=A\sin(\omega t)$

Derivera en gång med avseende på $t$. Vad blir den maximala hastigheten?

Du kan läsa om detta i din kursbok under kapitlet som diskuterar harmonisk svängning. Där ställer de upp differentialekvationen, löser den med en ansats och tar fram sambandet i D4NIELs inlägg.

Vilken bok har du? Modellen är även med i alla formelsamlingar för fysik 2 jag någonsin sett, vilken har du tillgång till?

Ebola skrev:

Du kan läsa om detta i din kursbok under kapitlet som diskuterar harmonisk svängning. Där ställer de upp differentialekvationen, löser den med en ansats och tar fram sambandet i D4NIELs inlägg.

Vilken bok har du? Modellen är även med i alla formelsamlingar för fysik 2 jag någonsin sett, vilken har du tillgång till?

Formler och tabeller från natur & kultur, 2016. 

Ja, jag misstänker också att den finns där men att jag inte förstår hur jag ska lösa ut det. Det var ett tag sedan jag läste derivata med, så det hjälper ju inte heller.

Ditt fjädersystem kan beskrivas som en  enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T. Viktens avvikelse  $y(t)$ från jämviktsläget som funktion av tiden skrivas som

$y(t)=A\sin(\omega t)=A\sin(\frac{2\pi}{T}t)$

Där $A$ är svängningens amplitud.

Det kan hända att din bok/formelsamling har med en förskjutningsvinkel, eller att de använder andra bokstavsbeteckningar. Men du bör kunna hitta det under en rubrik som "Harmonisk svängningsrörelse".

Se om du kan hitta det avsnittet i din bok/formelsamling. Kanske har de redan löst ut ett uttryck för maximal hastighet och acceleration åt dig?

Annars måste du derivera uttrycket. Då får vi en ny funktion som ger viktens hastighet vid varje given tidpunkt. Funktionens maxvärde ger den maximala hastigheten.

D4NIEL skrev:

Ditt fjädersystem kan beskrivas som en  enkel harmonisk rörelse med svängningsperioden T. Viktens avvikelse  $y(t)$ från jämviktsläget som funktion av tiden skrivas som

$y(t)=A\sin(\omega t)=A\sin(\frac{2\pi}{T}t)$

Där $A$ är svängningens amplitud.

Det kan hända att din bok/formelsamling har med en förskjutningsvinkel, eller att de använder andra bokstavsbeteckningar. Men du bör kunna hitta det under en rubrik som "Harmonisk svängningsrörelse".

Se om du kan hitta det avsnittet i din bok/formelsamling. Kanske har de redan löst ut ett uttryck för maximal hastighet och acceleration åt dig?

Annars måste du derivera uttrycket. Då får vi en ny funktion som ger viktens hastighet vid varje given tidpunkt. Funktionens maxvärde ger den maximala hastigheten.

Det står ju en text ovanför som kanske syftar på det du skrev i din förklaring.

Den cirkulära rörelsens formler är inte relevanta här (om det är det du syftar på med "texten ovanför").

Istället för $A$ så använder de $\hat{s}$ och istället för $y$ använder de $s$.

Du kan utan inskränkning sätta förskjutningsvinkeln $\varphi=0$, vi är ju inte intresserade av den exakta tidpunkten. Det påverkar inte resultatet.

Enligt din formelsamling har du har alltså

$s=\hat{s}\sin(\omega t)$

Kan du av uppgiftstexten förstå vad svängningens amplitud $\hat{s}$ är?

Kan du derivera funktionen $s(t)$ med avseende på t?

Om du är allergisk mot derivator kan du använda ett alternativt tillvägagångssätt baserat på en energibetraktelse.

I ändläget är hastigheten och därmed rörelseenergin 0. Rörelsens energi är lagrad i fjädern.

Fjäderns potential är

$\displaystyle  W_p=\frac{1}{2}kA^2$

Där A är amplituden på svängningen.

I jämviktsläget är hastigheten maximal, där har den lagrade energin övergått till rörelseenergi, $W_p=W_K$ alltså

$\displaystyle \frac{mv_{max}^2}{2}=\frac12kA^2$

$\displaystyle  v_{max}=A\sqrt{\frac{k}{m}}=A\omega$

Taru skrev:

Det var ett tag sedan jag läste derivata med, så det hjälper ju inte heller.

De har härlett hastighet och acceleration hos den harmoniska rörelsen i din kursbok. Om du skriver vilken kan jag säga var.

Jag rekommenderar starkt att du repeterar matematik 3 och konceptet med derivata, det ska inte ta mer än en halv eftermiddag. Kolla några videor på YouTube om harmonisk svängning också när du ändå håller på.

Ofta läser man detta avsnitt i fysiken innan man i matten har deriverat trigonometriska funktioner, så D4NIEL har en bra väg framåt om du har formeln för potentiell energin i en fjäder att tillgå.