Beräkna stigningsvinkeln

Ja, höjden är rätt, men det står i uppgiften att trappan går 2 varv runt cylindern. Basen i triangeln blir alltså 2 ggr omkretsen.  

Smaragdalena skrev:

Ja, höjden är rätt, men det står i uppgiften att trappan går 2 varv runt cylindern. Basen i triangeln blir alltså 2 ggr omkretsen.  

Jag inser att hela mantelarean har en sida som är 56,4 m och att den andra bör vara x meter. Detta ska tillsammans multipliceras till kvadratmeter. Spiralen går två varv runt cylindern och då är arean dubbelt så stor. Har gjort den beräkningen.

Men denna spiral bör gå längre än 2 hela varv runt cylindern, då den går i en vinkel? Eller går spiralen exakt två varv runt cylindern och är 2 gånger dess omkrets?

Den sidan som du kallar x är ju $2r\mathrm{\pi }$ (omkretsen av en cirkel)

Diametern står ju i uppgiften så multiplicera den med pi så har du den ena sidan

 Får du använda arctan?

Skulle du kunna ge facit så skulle jag kunna försöka räkna lite och se var jag hamnar?

Iridiumjon skrev:

Skulle du kunna ge facit så skulle jag kunna försöka räkna lite och se var jag hamnar?

 Vad ska jag säga? Facit förklarar att: "16,9 grader. Ledtråd: tänk dig en rätvinklig triangel."

Iridiumjon skrev:

Den sidan som du kallar x är ju $2r\mathrm{\pi }$ (omkretsen av en cirkel)

Diametern står ju i uppgiften så multiplicera den med pi så har du den ena sidan

 Spiralen är alltså 2 gånger cylinderns omkrets. 2(2r$\mathrm{\pi }$) = 2 (2*14,8$\mathrm{\pi }$) = 185.9822851 m. Det här är ett betydligt enklare sätt att få fram triangelns och rektangelns ena sida. Det hela bottnar ned till att när spiralen går ett varv runt, oavsett vinkel, så är omkretsen lika med cylinderns, är vad jag förstått. Nu hade en spiral två varv runt cylindern, därmed fördubblades omkretsen.

Noterade du förresten att jag fick rätt svar i min redovisning ovan?

Om det är svårt att föreställa sig det hela kan man göra på följande sätt:

1. Kapa tanken i två lika delar på höjden och titta bara på ena halvan.
2. Det är då en cylindrisk tank med höjden $28.2$ m och diameter $29.6$ m.
3. Spiraltrappan går då exakt ett varv runt cylindern.
4. Klipp upp cylindern från botten till toppen precis där spiraltrappan börjar (och slutar).
5. Bred ut cylindern platt på golvet.
6. Den blir då en rektangel med längd $29.6\pi$ m och bredd $28.2$ m.
7. Spiraltrappan bildar då en diagonal i denna rektangel.
8. Beräkna diagonalens vinkel $\alpha$ mot längden med hjälp av sambandet $tan(\alpha )=\frac{28.2}{29.6\pi}$

Yngve skrev:

Om det är svårt att föreställa sig det hela kan man göra på följande sätt:

1. Kapa tanken i två lika delar på höjden och titta bara på ena halvan.
2. Det är då en cylindrisk tank med höjden $28.2$ m och diameter $29.6$ m.
3. Spiraltrappan går då exakt ett varv runt cylindern.
4. Klipp upp cylindern från botten till toppen precis där spiraltrappan börjar (och slutar).
5. Bred ut cylindern platt på golvet.
6. Den blir då en rektangel med längd $29.6\pi$ m och bredd $28.2$ m.
7. Spiraltrappan bildar då en diagonal i denna rektangel.
8. Beräkna diagonalens vinkel $\alpha$ mot längden med hjälp av sambandet $tan(\alpha )=\frac{28.2}{29.6\pi}$

 Den här biten är inte svår att föreställa. Det är ju exakt detta jag gjort fast med omkretsen av två cylindrar. Däremot skulle jag möjligtvis behöva klippa ut en cylinder med denna vinkel och sedan få den att exakt bli omkretsen av en cylinder. Men jag kan inte få denna vinkel att bli exakt 16,9 grader, så det är inte ens lönt att försöka.

Viker jag denna figur till en cylinder får jag hypotenusan. Har jag basen och höjden kan jag använda tangens för att få ut vinkeln som jag gjorde.

Spiralen från nedersta sidan till höjden blir hypotenusan. Jag har förstått det nu! Jag var inne på att omkretsen var lika som spiralen. Men det är hypotenusan som är spiralen från botten till toppen.

Det som Yngve skrev är inte alls samma sak som du skriv i ditt först inlägg - där hade du en triangel med basen $2\pi r$ och basen $h$, medan Yngve har en triangel där basen är $2\pi r$ och höjden är $h/2$. Vinklarna blir helt olika!

Omkretsen av en cylinder är hur långt t ex ett snöre runt cylindern längst nere vid marken eller högst uppe eller 20 m upp är. Cylinderns omkrets har ingenting att göra med någon vinkel. Trappans längd är något helt annat. Leta reda på en tom toapappersrulle och experimentera lite!

Smaragdalena skrev:

Det som Yngve skrev är inte alls samma sak som du skriv i ditt först inlägg - där hade du en triangel med basen $2\pi r$ och basen $h$, medan Yngve har en triangel där basen är $2\pi r$ och höjden är $h/2$. Vinklarna blir helt olika!

Omkretsen av en cylinder är hur långt t ex ett snöre runt cylindern längst nere vid marken eller högst uppe eller 20 m upp är. Cylinderns omkrets har ingenting att göra med någon vinkel. Trappans längd är något helt annat. Leta reda på en tom toapappersrulle och experimentera lite!

Ja, detta var mödosamt.

Nu tror jag för sjunde gången att jag förstått: Höjden är 28,2 meter och basen är 2$\mathrm{\pi r}$, eftersom höjden är halva cylindern då vi enbart räknar med spiralen för ett varv. Basen är cylinderns omkrets. Och spiralen är hypotenusan. Jag hade fått för mig att spiralen var omkretsen. Vilket den inte var, utan den är just precis hypotenusan av triangeln som bildas.

Detta ger att hypotenusan (vilken är spiralen), är lika med tan = 28,2 / (2$\mathrm{\pi }14,8$).

${\tan }^{-1} (28,2\hspace{0.17em}/ (2\mathrm{\pi }*14,8\left)\right)\hspace{0.17em}= 16,87...\hspace{0.17em}\approx 16,9°$.

Det är inte hypotenusan som är knappt 17 grader - hypotenusan är den långa sidan i triangeln, vars längd är $\sqrt{(2\pi r^2)^2+(h/2)^2}$, om vi väljer Yngves variant - själva trappan är dubbelt så lång. Det är vinkeln $\alpha$ som är knappt 17 grader.

Smaragdalena skrev:

Det är inte hypotenusan som är knappt 17 grader - hypotenusan är den långa sidan i triangeln, vars längd är $\sqrt{(2\pi r^2)^2+(h/2)^2}$, om vi väljer Yngves variant - själva trappan är dubbelt så lång. Det är vinkeln $\alpha$ som är knappt 17 grader.

 Ja, nu vet jag inte vem som sagt att hypotenusan är 17 grader. Jag fastslog att spiraltrappan bildar hypotenusan. Vinkeln 17 grader är den som slingrar sig uppåt längs cylindern, det vill säga stigningsvinkeln. Jag kanske har fått allt helt fel ändå?

Du kanske tänker på denna text från mig: "Detta ger att hypotenusan (vilken är spiralen), är lika med tan = 28,2 / 2$\mathrm{\pi }14,8$." Nej, jag menade snarare att stigningsvinkeln, alfa, är lika med $\tan \left(\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}28,2 / 2\mathrm{\pi }14,8$.

Hypotenusan är inga grader, det är vinkeln $\alpha$ som är 17 grader, alltså vinkeln mellan marken och trappan/hpotenusan.

Smaragdalena skrev:

Hypotenusan är inga grader, det är vinkeln $\alpha$ som är 17 grader, alltså vinkeln mellan marken och trappan/hpotenusan.

 Ja du, nu vet inte jag om det är jag eller du som är trött. Kanske båda. Det står i uppgiften följande: "Beräkna stigningsvinkeln $\alpha$." Jag skrev att stigningsvinkeln är 17 grader, det vill säga $\alpha$ är 17 grader.

Spiralen stiger jämnt med 17 grader tills den når toppen av cylindern. Är detta inte sant?

renv skrev:

 Ja du, nu vet inte jag om det är jag eller du som är trött. Kanske båda. Det står i uppgiften följande: "Beräkna stigningsvinkeln $\alpha$." Jag skrev att stigningsvinkeln är 17 grader, det vill säga $\alpha$ är 17 grader.

Spiralen stiger jämnt med 17 grader tills den når toppen av cylindern. Är detta inte sant?

 Jo det stämmer att stigningsvinkeln är 16.9 grader.

Och jag är också trött 😀