Beräkna staketet längd

https://www.pluggakuten.se/trad/problemlosning-3210-uppgift-c/

Tar bara uppgiften  a)  först:

Staketet går runt alla fyra sidor på parkeringsplatsen, så längden (=omkretsen) är  =  x + y + x + y

Arean är 900 $m^2$     Den räknas ut så här     Area =  $x · y$

Om  x=50 m      --->     $50 · y = 900$      Vad blir då  y ?      Vad blir då staketets  längd ?

Om  x=60        Vad blir då  y ?  Vad blir då staketets  längd ?

larsolof skrev:

Tar bara uppgiften  a)  först:

Staketet går runt alla fyra sidor på parkeringsplatsen, så längden (=omkretsen) är  =  x + y + x + y

Arean är 900 $m^2$     Den räknas ut så här     Area =  $x · y$

Om  x=50 m      --->     $50 · y = 900$      Vad blir då  y ?      Vad blir då staketets  längd ?

Om  x=60        Vad blir då  y ?  Vad blir då staketets  längd ?

jag beräknade ut båda y:n och sedan bestämde jag deras omkrets vilket är också längden. Till c delen fick jag funktionen till s(x)=2x+2y däremot säger facit att det ska vara s(x)=2x+1800/x. Varför det? Hur kan facit påstå att y är 900/x i detta fallet?

Edit: y=900/x därför att 900=x*y

Hur går jag tillväga på c delen?

Alexanderyin03 skrev:

larsolof skrev:

Tar bara uppgiften  a)  först:

Staketet går runt alla fyra sidor på parkeringsplatsen, så längden (=omkretsen) är  =  x + y + x + y

Arean är 900 $m^2$     Den räknas ut så här     Area =  $x · y$

Om  x=50 m      --->     $50 · y = 900$      Vad blir då  y ?      Vad blir då staketets  längd ?

Om  x=60        Vad blir då  y ?  Vad blir då staketets  längd ?

jag beräknade ut båda y:n och sedan bestämde jag deras omkrets vilket är också längden. Till c delen fick jag funktionen till s(x)=2x+2y däremot säger facit att det ska vara s(x)=2x+1800/x. Varför det? Hur kan facit påstå att y är 900/x i detta fallet?

Ta det steg för steg, annars fattar jag inte vad du gjort.
Alltså först uppgift a)
Vad är staketets längd när x = 50 ?
Vad är staketets längd när x = 60 ?

Jag väntar på ditt svar på   a)  Vad är staketets längd när x = 50 ?
                                                        Vad är staketets längd när x = 60 ?

Men jag har en till fråga. Står det verkligen "s(x)=2x+1800/x"  i facit ?   Jag tror det finns en till siffra i nämnaren.

larsolof skrev:

Jag väntar på ditt svar på   a)  Vad är staketets längd när x = 50 ?
                                                        Vad är staketets längd när x = 60 ?

Men jag har en till fråga. Står det verkligen "s(x)=2x+1800/x"  i facit ?   Jag tror det finns en till siffra i nämnaren.

Hej,

Du vet att arean är $900$ kvadratmeter och att den beräknas som produkten $x\cdot y$, så att du har sambandet

    $x \cdot y = 900.$

Staketets kostnad minimeras om staketets längd ($S(x)$) minimeras. Du vet att $S(x) = 2x+2y$ som även kan skrivas

    $S(x) = 2x+2 \cdot \frac{900}{x}$

Med en kvadratkomplettering kan $S(x)$ skrivas på ett sätt som gör det enkelt att avgöra när längden är minimal.

    $\displaystyle 2x+\frac{1800}{x} = \left(\sqrt{2x}-\sqrt{\frac{1800}{x}}\right)^2 + 120$

Det kvadratiska uttrycket är alltid ett positivt tal så det minsta möjliga värdet som $S(x)$ kan anta är 120 och det inträffar när det kvadratiska uttrycket är noll vilket inträffar när parkeringsplatsen har formen av en kvadrat med sidan $x=\sqrt{900}$ meter.

Anmärkning: Det går lika bra med zelleri, eller medh de-hri-vehring! :)

uppgift b)    bestäm staketets längd S som funktion av  x

                       arean   =   900   =   $x · y$

                       alltså  kan y skrivas som    $y = \frac{900}{x}$

                      staketets längd    S(x)  =  x + x + y + y  =  2x + 2y            byt ut y mot $\frac{900}{x}$

                                                         S(x)  =  $2x + 2·\left(\frac{900}{x}\right) = 2x + \frac{1800}{x}$

Albiki skrev:

Hej,

Du vet att arean är $900$ kvadratmeter och att den beräknas som produkten $x\cdot y$, så att du har sambandet

    $x \cdot y = 900.$

Staketets kostnad minimeras om staketets längd ($S(x)$) minimeras. Du vet att $S(x) = 2x+2y$ som även kan skrivas

    $S(x) = 2x+2 \cdot \frac{900}{x}$

Med en kvadratkomplettering kan $S(x)$ skrivas på ett sätt som gör det enkelt att avgöra när längden är minimal.

    $\displaystyle 2x+\frac{1800}{x} = \left(\sqrt{2x}-\sqrt{\frac{1800}{x}}\right)^2 + 120$

Det kvadratiska uttrycket är alltid ett positivt tal så det minsta möjliga värdet som $S(x)$ kan anta är 120 och det inträffar när det kvadratiska uttrycket är noll vilket inträffar när parkeringsplatsen har formen av en kvadrat med sidan $x=\sqrt{900}$ meter.

Anmärkning: Det går lika bra med zelleri, eller medh de-hri-vehring! :)

Jag är inte helt säker på vad du menar men jag förstår metoden. Den metod vi skulle kunna använda är derivering som går att använda enligt dig. Kan du visa hur vi löser med hjälp av derivering?

larsolof skrev:

uppgift b)    bestäm staketets längd S som funktion av  x

                       arean   =   900   =   $x · y$

                       alltså  kan y skrivas som    $y = \frac{900}{x}$

                      staketets längd    S(x)  =  x + x + y + y  =  2x + 2y            byt ut y mot $\frac{900}{x}$

                                                         S(x)  =  $2x + 2·\left(\frac{900}{x}\right) = 2x + \frac{1800}{x}$

Nu förstår jag b delen! Jag förstår nu att om en variabel ska skrivas som en funktion av x, så måste vara x

Alexanderyin03 skrev:

larsolof skrev:

uppgift b)    bestäm staketets längd S som funktion av  x

                       arean   =   900   =   $x · y$

                       alltså  kan y skrivas som    $y = \frac{900}{x}$

                      staketets längd    S(x)  =  x + x + y + y  =  2x + 2y            byt ut y mot $\frac{900}{x}$

                                                         S(x)  =  $2x + 2·\left(\frac{900}{x}\right) = 2x + \frac{1800}{x}$

Nu förstår jag b delen! Jag förstår nu att om en variabel ska skrivas som en funktion av x, så måste vara x

Precis.  Då kan det inte vara några andra okända med i funktionen (som y)

Alexanderyin03 skrev:

Albiki skrev:

Hej,

Du vet att arean är $900$ kvadratmeter och att den beräknas som produkten $x\cdot y$, så att du har sambandet

    $x \cdot y = 900.$

Staketets kostnad minimeras om staketets längd ($S(x)$) minimeras. Du vet att $S(x) = 2x+2y$ som även kan skrivas

    $S(x) = 2x+2 \cdot \frac{900}{x}$

Med en kvadratkomplettering kan $S(x)$ skrivas på ett sätt som gör det enkelt att avgöra när längden är minimal.

    $\displaystyle 2x+\frac{1800}{x} = \left(\sqrt{2x}-\sqrt{\frac{1800}{x}}\right)^2 + 120$

Det kvadratiska uttrycket är alltid ett positivt tal så det minsta möjliga värdet som $S(x)$ kan anta är 120 och det inträffar när det kvadratiska uttrycket är noll vilket inträffar när parkeringsplatsen har formen av en kvadrat med sidan $x=\sqrt{900}$ meter.

Anmärkning: Det går lika bra med zelleri, eller medh de-hri-vehring! :)

Jag är inte helt säker på vad du menar men jag förstår metoden. Den metod vi skulle kunna använda är derivering som går att använda enligt dig. Kan du visa hur vi löser med hjälp av derivering?

• Derivatan är

    $S^\prime(x) = 2-\frac{1800}{x^2}$

och den är noll precis då $x=\sqrt{900}$.

• När $0<x<\sqrt{900}$ är derivatan negativ och när $x>\sqrt{900}$ är derivatan positiv, vilket betyder att funktionen $S(x)$ har ett minimum när $x=\sqrt{900}$. Det räcker inte att du bestämmer när $S'(x)=0$; denna teckenstudie av derivatan är nödvändig för att avgöra om $S'(x)=0$ ger dig maximum, minimum eller terrasspunkt.
• Funktionens minsta värde är $S(\sqrt{900}) = 2\sqrt{900}+\frac{1800}{\sqrt{900}}=120$.

Allt detta sammanfattas på en enda rad om du istället använder kvadratkompletteringen som jag visade dig.

Albiki skrev:

Alexanderyin03 skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Hej,

Du vet att arean är $900$ kvadratmeter och att den beräknas som produkten $x\cdot y$, så att du har sambandet

    $x \cdot y = 900.$

Staketets kostnad minimeras om staketets längd ($S(x)$) minimeras. Du vet att $S(x) = 2x+2y$ som även kan skrivas

    $S(x) = 2x+2 \cdot \frac{900}{x}$

Med en kvadratkomplettering kan $S(x)$ skrivas på ett sätt som gör det enkelt att avgöra när längden är minimal.

    $\displaystyle 2x+\frac{1800}{x} = \left(\sqrt{2x}-\sqrt{\frac{1800}{x}}\right)^2 + 120$

Det kvadratiska uttrycket är alltid ett positivt tal så det minsta möjliga värdet som $S(x)$ kan anta är 120 och det inträffar när det kvadratiska uttrycket är noll vilket inträffar när parkeringsplatsen har formen av en kvadrat med sidan $x=\sqrt{900}$ meter.

Anmärkning: Det går lika bra med zelleri, eller medh de-hri-vehring! :)

Jag är inte helt säker på vad du menar men jag förstår metoden. Den metod vi skulle kunna använda är derivering som går att använda enligt dig. Kan du visa hur vi löser med hjälp av derivering?

• Derivatan är

    $S^\prime(x) = 2-\frac{1800}{x^2}$

och den är noll precis då $x=\sqrt{900}$.

• När $0<x<\sqrt{900}$ är derivatan negativ och när $x>\sqrt{900}$ är derivatan positiv, vilket betyder att funktionen $S(x)$ har ett minimum när $x=\sqrt{900}$. Det räcker inte att du bestämmer när $S'(x)=0$; denna teckenstudie av derivatan är nödvändig för att avgöra om $S'(x)=0$ ger dig maximum, minimum eller terrasspunkt.
• Funktionens minsta värde är $S(\sqrt{900}) = 2\sqrt{900}+\frac{1800}{\sqrt{900}}=120$. 

Allt detta sammanfattas på en enda rad om du istället använder kvadratkompletteringen som jag visade dig.

 

 

Tack för förtydligandet! jag undrar över c delen. Jag har lärt mig att derivera funktion s(x) och lösa ut efter att ha satt s(x)=0. Då får jag$\sqrt{-900}$.  

Tayzo569 skrev:

Albiki skrev:

Visa föregående citat

Alexanderyin03 skrev:

Albiki skrev:

Hej,

Du vet att arean är $900$ kvadratmeter och att den beräknas som produkten $x\cdot y$, så att du har sambandet

    $x \cdot y = 900.$

Staketets kostnad minimeras om staketets längd ($S(x)$) minimeras. Du vet att $S(x) = 2x+2y$ som även kan skrivas

    $S(x) = 2x+2 \cdot \frac{900}{x}$

Med en kvadratkomplettering kan $S(x)$ skrivas på ett sätt som gör det enkelt att avgöra när längden är minimal.

    $\displaystyle 2x+\frac{1800}{x} = \left(\sqrt{2x}-\sqrt{\frac{1800}{x}}\right)^2 + 120$

Det kvadratiska uttrycket är alltid ett positivt tal så det minsta möjliga värdet som $S(x)$ kan anta är 120 och det inträffar när det kvadratiska uttrycket är noll vilket inträffar när parkeringsplatsen har formen av en kvadrat med sidan $x=\sqrt{900}$ meter.

Anmärkning: Det går lika bra med zelleri, eller medh de-hri-vehring! :)

Jag är inte helt säker på vad du menar men jag förstår metoden. Den metod vi skulle kunna använda är derivering som går att använda enligt dig. Kan du visa hur vi löser med hjälp av derivering?

• Derivatan är

    $S^\prime(x) = 2-\frac{1800}{x^2}$

och den är noll precis då $x=\sqrt{900}$.

• När $0<x<\sqrt{900}$ är derivatan negativ och när $x>\sqrt{900}$ är derivatan positiv, vilket betyder att funktionen $S(x)$ har ett minimum när $x=\sqrt{900}$. Det räcker inte att du bestämmer när $S'(x)=0$; denna teckenstudie av derivatan är nödvändig för att avgöra om $S'(x)=0$ ger dig maximum, minimum eller terrasspunkt.
• Funktionens minsta värde är $S(\sqrt{900}) = 2\sqrt{900}+\frac{1800}{\sqrt{900}}=120$. 

Allt detta sammanfattas på en enda rad om du istället använder kvadratkompletteringen som jag visade dig.

 

 

Tack för förtydligandet! jag undrar över c delen. Jag har lärt mig att derivera funktion s(x) och lösa ut efter att ha satt s(x)=0. Då får jag$\sqrt{-900}$.  

Det löste sig