Beräkna spegling
Ska finna ekvationen för planet som uppkommer. Eftersom planet π1 speglas så kan jag använda riktningsvektorn n=(2,-1,1) men hur jag sedan ska komma fram till speglingen är en bra fråga. Har sett att vissa använder någon formel för att beräkna speglingen för att få fram en punkt eller vektor. 
Jag borde kunna detta men det gör jag inte. Take it or leave it:
Jag kallar planen p1 och p2. Men p1 ska speglas i p2, jag tycker du verkar göra tvärtom.
Tag en punkt i p2. Drag en vektor vinkelrät mot p2 tills du prickar p1. Gå sedan från punkten i p2 lika långt åt andra hållet så har du en punkt i det sökta planet (säg p3). Det är min strategi, ok.
En vektor vinkelrät mot p2 är n = u(1, 0, 1). Men hur ska vi beskriva en punkt i p2?
x + z = 0
y = s
z = t
ger (x, y, z) = (–t, s, t), så vektorn från p2 mot p1 blir
(–t+u, s, t+u).
Sätt in i ekv för p1:
2(–t+u) –s + t+u = 1
vi får 3u = t+s+1
u = (t+s+1)/3
Nu går vi från p2 åt andra hållet:
(x, y, z) = (–t, s, t) – [(t+s+1)/3](1, 0, 1) (1)
Om jag tänkt och gjort rätt här så är (1) en ekvation på parameterform för det sökta planet p3. Om man vill kan man eliminera parametrarna s och t. Men det känns som en krånglig metod.
Det som står i svaret är enbart detta:
En normal till π1 a ̈r n = (2,−1,1). När n speglas i π2 uppkommer vektorn u =
(−1, −1, −2). Det sökta planet ges därför av ekvationen x + y + 2z + 1 = 0.
Jag tänkte att eftersom π1 speglas i π2 så är det π1 riktningsvektor vi vill utgå från, tänkte liksom att om vi har punkter i π1 så är ju de som ligger i planet sin egna spegelbild om du förstår vad jag menar?
PS Jag fick ut ett svar som iaf hade snälla siffror
3x – y – 6z = 1
Men jag kan ha både tänkt och räknat fel.
notsogenius skrev:Det som står i svaret är enbart detta:
En normal till π1 a ̈r n = (2,−1,1). När n speglas i π2 uppkommer vektorn u =
(−1, −1, −2). Det sökta planet ges därför av ekvationen x + y + 2z + 1 = 0.
Jag tänkte att eftersom π1 speglas i π2 så är det π1 riktningsvektor
Du menar normalvektor?
vi vill utgå från, tänkte liksom att om vi har punkter i π1 så är ju de som ligger i planet sin egna spegelbild om du förstår vad jag menar?
Nej, jag förstår inte. Om du står framför en spegel så ser du spegelbilden av dig själv. Drar du en linje mellan din näsa och spegelbildens näsa så är den vinkelrät mot spegelplanet och delas mitt itu av spegeln.
Jag ska ser om jag får samma som facit ifall jag räknar ordentligare.
Nej, det blev rörigt. Bokens tanke verkar vara att spegla normalvektorn till p1 i planet p2. Det ger en normalvektor till sökta planet. Onekligen enklare än mitt.
Men riktigt hur en vektor speglas i ett plan har jag dålig koll på. Vi hoppade nog över speglingar när jag läste linalg :)
Jo det funkar med min metod, jag räknade fel i går.
Jag tror inte du får ut så mycket av mitt klotter, men jag kan beskriva strategin:
Planet p1 speglas i planet p2. Spegelbilden p3 söks.
Jag väljer en godtycklig punkt P1 i p1: (s, t, 1–2s+t).
Planet p2 har normalvektor un = (u, 0, u)
Bilda vektorn P1 + un och bestäm u så att vektorn satisfierar p2:s ekvation.
Bilda vektorn P1 + 2un. Den hamnar i p3.
Ursäkta att jag skrivit litet slarvigt här Punkten P1 är ibland vektorn från origo till P1, och planet p2 skulle kallats pi2 osv.
Så det gick. Men av allt att döma finns en teori om speglingar som skulle underlättat beräkningarna.
Spegla i ett plan borde man kunna göra genom att transformera koordinaterna så att planet blir z = 0, och sedan byta ut z mot -z överallt.
För att spegla ett plan i ett annat kan man göra följande:
Dela upp normalvektorn för det första planet, , i två delar; en del som är parallell med normalvektorn för det andra planet, , och en del som är ortogonal mot den.
Den parallella delen kan du beräkna genom att projicera på .
Därav följer att:
För att beräkna normalvektorn för det speglade planet, , byter man bara tecken på den parallella delen.
