Beräkna skärningsvinkel för två kurvor

Betrakta kurvorna $(x,y)=(t^2, t+1), t\in \mathrm{ℝ}$, och $5x^2+5xy+3y^2-8x-6y+3=0$ i planet.

a) Bestäm alla skärningspunkter mellan kurvorna.

b) Bestäm skärningsvinkeln mellan kurvorna vid respektive skärningspunkt.

Lösning:

a) Sätter in t i ekvationen och får att

$$\begin{gathered} 5t^2+5t^2(t+1)+3(t+1{)}^2-8t^2-6(t+1)+3=0 \\ \iff \\ 5t^3(t+1)=0 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{t}_1=0\\ t_2=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

vilket innebär att kurvorna skär varandra i punkterna $\left((t_1{)}^2, (t_1+1)\right)=\left(0, 1\right)$ och $\left((t_2{)}^2, (t_2+1)\right)=\left(1, 0\right)$.

b) Vi tar reda på tangentlinjernas riktningsvektorer för en av kurvorna i de två punkterna och nyttjar att

$\nabla f(a,b)·\mathit{v}=\left|\nabla f(a,b)\right|·\left|\mathit{v}\right|·\cos \theta$

där riktningsvektorn v har längden $\left|\mathit{v}\right|=1$.

Vi vet att 

$\left\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t+1\end{array}\right.\Rightarrow x=x\left(y\right)=(y-1{)}^2$.

Då får vi att $x\text{'}\left(y\right)=2(y-1)$ och att $x\text{'}\left(1\right)=0$ samt $x\text{'}\left(0\right)=-2$. Dessa två tangenters riktning kan skrivas som tangentvektorerna $(0,1)$ respektive $(-2,1)$. Eftersom vi vill att tangentlinjernas riktningsvektorer ska ha längden 1 så sätter vi att 

$\left\{\begin{array}{l}{\mathit{v}}_1=\left(0, 1\right)\\ {\mathit{v}}_2=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)\end{array}\right.$

Låt nu $f(x,y)=5x^2+5xy+3y^2-8x-6y+3$. Då gäller att

$\nabla f(x,y)=\left(10x+5y-8, 5x+6y-6\right)$ och därmed att 

$\left\{\begin{array}{l}\nabla f(0, 1)·{\mathit{v}}_1=\left(-3, 0\right)·\left(0, 1\right)=0\\ \nabla f(1, 0)·{\mathit{v}}_2=(2, -1)·\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{4}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}\end{array}\right.$

Vi har att $\left\{\begin{array}{l}\left|\nabla f(0, 1)\right|=3\\ \left|\nabla f(1, 0)\right|=\sqrt{5}\end{array}\right.$ och nyttjar vi nu formeln $\nabla f(a,b)·\mathit{v}=\left|\nabla f(a,b)\right|·\left|\mathit{v}\right|·\cos \theta$ så får vi att 

$\left\{\begin{array}{l}\left|\nabla f(0, 1)\right|·\left|{\mathit{v}}_1\right|·\cos {\theta }_1=3·\cos {\theta }_1=0\Rightarrow {\theta }_1=\frac{\mathrm{\pi }}{2}\\ \left|\nabla f(1, 0)\right|·\left|{\mathit{v}}_2\right|·\cos {\theta }_2=\sqrt{5}·\cos {\theta }_2=-\sqrt{5}\Rightarrow {\theta }_2=\mathrm{\pi }\end{array}\right.$

och vi kan kan också säga att ${\theta }_2=0$ eftersom kurvornas lutning i punkten är lika.

Så svaret får jag till att kurvorna har skärningsvinkeln $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ i punkten (0, 1) och skärningsvinkeln 0 i punkten (1, 0). Facit säger dock att det är tvärtom, dvs i punkten (0, 1) så är skärningsvinkeln 0 och i punkten (1, 0) så är skärningsvinkeln $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

Någon som ser var jag har tänkt fel?