Beräkna sin 22,5◦utan att använda miniräknare.

Det finns flera sätt att göra detta på, men de handlar om halva vinkeln, alternativt subtraktionsformeln för sinus. Kan du komma på något sätt att kombinera vinklar (med kända trigvärden) för att få 22,5 grader? :)

Om jag använder formeln för halva vinkeln får jag: 
$\sin ^2\frac{22,5°}{2}=\frac{1-\cos 22,5°}{2} \to \sin ^2 x 22,5°= 1-\cos 22,5°$

Men sen kommer jag inte vidare... 

Kopplar inte heller hur jag kan använda subtraktionsformeln för sinus...

Hmmm, jag inser nu att jag nog tänkte åt fel håll. Förlåt. 🥺

Min tanke var nog egentligen dubbla vinkeln: 

$\cos \left(2x\right)=1-2\sin \left(x\right)$

Om vi sätter x till 22,5, får vi följande: 

$$\begin{gathered} \cos (2·22,5°)=1-2\sin (22,5°) \\ \cos (45°)=1-2\sin (22,5°) \end{gathered}$$

Om vi nu löser ut sin(22,5) borde vi få fram ett svar. 

Vad det gäller subtraktionsformeln, den säger följande: 

$\sin \left(a-b\right)=\sin \left(a\right)\cos \left(b\right)-\cos \left(a\right)\sin \left(b\right)$

Om vi väljer värden på a och b så att $a-b$ blir 22,5, kan vi beräkna sin(22,5) utan att behöva räkna med just 22,5. Vilka vinklar har kända trigonometriska värden (kika gärna i din formelsamling om du är osäker)? Går några av dessa vinklar att kombinera så att du får 22,5? :)

Tack! Men enligt min formelsamling är formeln för för dubbla vinkeln cos2u=1-2sin^2u och då har jag kommit fram till: 
$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= -2\sin ^2 (22,5)$ $\to$ $\frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}= -\sin ^2(22,5)$
Och så blir det stopp här... :/

Du vet ju att u = 22,5^o så 2u = 45^o och alltså är cos2u = sin2u = $\frac{1}{\sqrt2}$.

Kalla sin(u) för t, bara för att det är enklare att skriva. Då har du att $\frac{1}{\sqrt2}=1-t^2$. Kan du lösa ut t ur den här ekvationen?