Beräkna sidor av rätvinklig triangel (årskurs 9)

En rätvinklig triangel har arean 84 cm². Triangelns sidor har heltalsvärden (inga decimaler). Beräkna längden av alla tre sidorna i triangeln.

Tips! Gör en tabell över de möjlighter på sidor som ger rätt area.

(Det finns bara en lösning där alla tre sidorna är heltal och som har en area på 84 cm²)

Hej!

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda oss av Pythagoras sats, alltså att $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Vi vet även att arean på en triangel beräknas av $\frac{a b}{2}$ vilket ska vara lika med 84. Vi har nu två villkor som kan hjälpa oss lösa problemet.

$1 . a^{2} + b^{2} = c^{2} 2 . \frac{a b}{2} = 84$

Med hjälp av villkor 2 kan vi försöka ta fram kandidater för våran lösning. Om vi multiplicerar båda sidorna med 2, får vi att produkten av a och b ska vara lika med 168. Hur kan det lösas? Jo, om vi delar upp 168 i primfaktorer så kan vi hitta de tal som uppfyller villkoret. Alltså:

$168 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$ .

T.ex. så skulle $2 \times 2 \times 2 = 8$ och $7 \times 3 = 21$ kunna lösa uppgiften, men sätter vi in det i Pythagoras sats får vi att $c = \sqrt{55}$ vilket inte är ett heltal.

Om vi gör en tabell över några av alla möjligheter får vi

a	b	c
$8$	$21$	$\sqrt{55}$
$4$	$42$	$\sqrt{1780}$
$2$	$84$	$\sqrt{7060}$
$24$	$7$	$25$
$14$	$12$	$\sqrt{340}$
$56$	$3$	$\sqrt{3145}$

Vi ser nu att om $a = 24$ och $b = 7$ , får vi $c = 25$ . Vilka alla är heltal, alltså är uppgiften löst

SAFTkraft skrev:
Hej!

Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi använda oss av Pythagoras sats, alltså att $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ Vi vet även att arean på en triangel beräknas av $\frac{a b}{2}$ vilket ska vara lika med 84. Vi har nu två villkor som kan hjälpa oss lösa problemet.

$1 . a^{2} + b^{2} = c^{2} 2 . \frac{a b}{2} = 84$

Med hjälp av villkor 2 kan vi försöka ta fram kandidater för våran lösning. Om vi multiplicerar båda sidorna med 2, får vi att produkten av a och b ska vara lika med 168. Hur kan det lösas? Jo, om vi delar upp 168 i primfaktorer så kan vi hitta de tal som uppfyller villkoret. Alltså:

$168 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$ .

T.ex. så skulle $2 \times 2 \times 2 = 8$ och $7 \times 3 = 21$ kunna lösa uppgiften, men sätter vi in det i Pythagoras sats får vi att $c = \sqrt{55}$ vilket inte är ett heltal.

Om vi gör en tabell över några av alla möjligheter får vi

a b c

$8$ $21$ $\sqrt{55}$

$4$ $42$ $\sqrt{1780}$

$2$ $84$ $\sqrt{7060}$

$24$ $7$ $25$

$14$ $12$ $\sqrt{340}$

$56$ $3$ $\sqrt{3145}$

Vi ser nu att om $a = 24$ och $b = 7$ , får vi $c = 25$ . Vilka alla är heltal, alltså är uppgiften löst

Hur kom du fram till att det ska vara roten ur 55 osv?

Hur kom du fram till att det ska vara roten ur 55 osv?

Pythagoras sats.

Svara

Visa senaste svar