Beräkna sidlängder som ger maximal volym med hjälp av begränsningsarea

I uppgiften ska jag beräkna sidlängderna som ger den maximala volymen av ett rätblock utan lock, där begränsningsarean är $36 d m^{2}$ . Lådans botten är kvadratisk.

Begränsningsarean blir därför $x^{2} + 4 (x \times y) = 36$ räknat på att bottens area är x⋅x och sidornas area är x⋅y

$x^{2} + 4 x + 4 y = 36$

$4 y = \frac{36}{x^{2} + x}$

$y = \frac{9}{x^{2} + x}$

Volym för rätblock blir x⋅x⋅y för denna med kvadratisk botten. Sätter man in ovanstående uträkning i det blir det:

$V o l y m = x^{2} \times \frac{9}{x^{2} + x}$

Sedan tänkte jag att detta ska förenklas och får då det till

$\frac{9 x^{2}}{x^{2} + x}$

Sedan ska denna deriveras för att få reda på x vid extremvärde. Men här är jag fast.

Vet ej om jag ens är på rätt spår, är tacksam för hjälp!

Det blev fel när du gick från din första formel till x²+4x+4y=36. Det ska vara x²+4xy = 36.

$y = \frac{36}{x^{2} + 4 x}$

Och volymen:
$V o l y m = \frac{36 x^{2}}{x^{2} + 4 x}$

Du slarvar när du skriver om likheterna. Din första (som inte var rätt), x²+4x+4y=36, skulle ge 4y = 36-x²-4x, inte 4y = 36/(x²+x).

Du har gjort liknande fel nu sist också.

Att förenkla ekvationer är inte min starka sida, det kanske märks haha.

Men jag har gjort ett nytt försök, eller flera stycken, och resultatet känns alltid fel. Så om du kan peka ut vart det är jag gör fel och hur jag bör göra istället hade jag varit tacksam!

$x^{2} + 4 x y = 36$

$y = \frac{36 - x^{2}}{4 x}$

(då det är +x^2 lär man subtrahera med x^2 på båda sidor, och då det är $4 \times x \times y$

måste man dividera med 4x för att få y ensamt?)

Sedan antar jag att denna ska förenklas, och det är det jag har provat att göra på olika sätt. Så antingen blir det fel redan i steget innan eller i detta. Eller så ska den inte förenklas, men jag provade det med och det känns inte heller rätt.

Först tänkte jag att man skulle dividera med 4 för att få x i nämnaren ensamt, men då måste ju båda termerna i täljaren divideras med 4 och x^2/4 skulle bara bilda ett bråk i ett bråk och det kändes fel. Så jag provade att dela upp termen i 2.

$\frac{36}{4 x} - \frac{x^{2}}{4 x} = \frac{9}{x} - \frac{x^{2}}{4 x}$

Och sedan ska man sätta in $y = \frac{9}{x} - \frac{x^{2}}{4 x}$ i ekvationen för volym, vilket är $x^{2} \times y$

$x^{2} \times \frac{9}{x} - \frac{x^{2}}{4 x} = \frac{9 x^{2}}{x} - \frac{x^{4}}{4 x} v i l k e t k a n (k a n s k e) f ö r k o r t a s t i l l 9 x - \frac{x^{3}}{4}$

Och denna ska då deriveras

$v ´ = 9 - \frac{3 x^{2}}{4}$

Och då ska derivatan sättas som 0 för att få ut extremvärde

$9 - \frac{3 x^{2}}{4} = 0 9 = \frac{3 x^{2}}{4} x = \sqrt{12} \approx 3, 464$

Och om vi då sätter in x-värdet i den första formeln för begränsningsarean för att ta reda på y blir det

$12 + 4 \times 3.464 \times y = 36 12 + 13.856 \times y = 36 13, 856 \times y = 24 y = 1, 732$

Så isåfall ska sidlängderna vara 3,464 dm och 1,732 dm.

Uppskattar förtydligande om vad som är rätt/fel.

Nu ser det rätt ut.

Svara

Visa senaste svar