Beräkna sannolikhetsfunktionen X

Sannolikhetsfunktionen anger med vilken sannolikhet varje utfall av $X$ inträffar. Du ska alltså beräkna värdena $P(X=x)$ för varje möjligt utfall $x$. Till exempel är sannolikheten att alla terminaler är lediga

$P(X=0)=1/4 \cdot 1/3 \cdot 1/2 = 1/24$.

Gustor skrev:

Sannolikhetsfunktionen anger med vilken sannolikhet varje utfall av $X$ inträffar. Du ska alltså beräkna värdena $P(X=x)$ för varje möjligt utfall $x$. Till exempel är sannolikheten att alla terminaler är upptagna

$P(X=0)=1/4 \cdot 1/3 \cdot 1/2 = 1/24$.

Jag förstår inte riktigt. Du får 1/24 som jag absolut inte hänger med på var du får den logiskt ifrån.  Vi har att X={1,2,3}. Vad står de sannolikheterna som frågan gav oss för ? Om vi ska beräkna sannolikhet för varje utfall tex X=1 osv så ska det ju vara P=antal gynsamma utfall/antal möjliga utfall.

Det kan vara 0 terminaler som används också. Sannolikheten att den första terminalen inte används är $1-3/4 = 1/4$.

Terminalerna används oberoende av varandra, så sannolikheten att alla tre terminaler är lediga är

$(1-3/4)(1-2/3)(1-1/2)=1/24$.

Gustor skrev:

Det kan vara 0 terminaler lediga också. Sannolikheten att den första terminalen inte används är $1-3/4 = 1/4$.

Terminalerna används oberoende av varandra, så sannolikheten att alla tre terminaler är lediga är

$(1-3/4)(1-2/3)(1-1/2)=1/24$.

Jag misstänker att detta är en regel för multiplikation av sannolikheter för att begreppet "oberoende" används här och då multiplicerar man sannolikheten att något inte används.

Om du är osäker på begreppen oberoende eller sannolikhetsfunktion rekommenderar jag att gå tillbaka och repetera det innan du försöker med denna uppgift igen.

Gustor skrev:

Om du är osäker på begreppen oberoende eller sannolikhetsfunktion rekommenderar jag att gå tillbaka och repetera det innan du försöker med denna uppgift igen.

Men du förklarade precis tror jag. Oberoende sannolikhet är ju multiplikation  av sannolikheterna? Du fick ju fram att sannolikheten av att något inte används är 1/24

I boken står det att P(AsnittB)=P(A)P(B) där A och B är oberoende händelser.

Är du med på att $X=\{0,1,2,3\}$?

Om ja: vad är $P(X=3)$?

Gustor skrev:

Är du med på att $X=\{0,1,2,3\}$?

Om ja: vad är $P(X=3)$?

I uppgiften så står det att vi har terminalerna 1,2 och 3. Men jag vet inte varför 0 ska vara med i mängden och antar att den står för 0 terminal som inte förbrukas.  Vi vet också att sannolikheten för P_x(3)=1/2 enligt uppgiften.

Vad står $X$ för?

Gustor skrev:

Vad står $X$ för?

X är ju stokastisk variabel som de tänkbara värden kan anta

Kolla uppgiften för att se vad X är. 

Pieter Kuiper skrev:

Kolla uppgiften för att se vad X är. 

Ja X är ju antalet terminaler som används ett visst ögonblick. 

Förstår du då varför värdet noll ska vara med?

Pieter Kuiper skrev:

Förstår du då varför värdet noll ska vara med?

Ja

Hur får man sannolikhetsfunktionen som frågas i frågan?

Se mitt första inlägg. Du behöver ange $P(X=x)$ för alla möjliga utfall $x$, dvs. för $x=0,1,2,3$.

Om du vill beräkna t.ex. $P(X=1)$, alltså sannolikheten att en terminal används, så kan detta vara antingen terminal 1, terminal 2 eller terminal 3.

Om det är terminal 1 som används, så är sannolikheten för detta 3/4.

Då används inte terminal 2 eller 3, vilket sker med sannolikheterna 1-2/3 = 1/3 respektive 1-1/2=1/2.

Oberoende händelser ger att sannolikheten att terminal 1 används men inte terminal 2 eller 3 är

3/4 * 1/3 * 1/2 = 3/24.

Det kan dock också vara så att terminal 2 används, men inte 1 eller 3. Eller att terminal 3 används, men inte 1 eller 2. Beräkna dessa två.

Summan av dessa tre sannolikheter blir den totala sannolikheten att $X=1$, dvs. att en av de tre terminalerna används, som alltså kan vara antingen terminal 1, 2, eller 3. Då har vi bestämt $P(X=1)$.

Gör nu samma för de andra utfallen.

Gustor skrev:

Se mitt första inlägg. Du behöver ange $P(X=x)$ för alla möjliga utfall $x$, dvs. för $x=0,1,2,3$.

Om du vill beräkna t.ex. $P(X=1)$, alltså sannolikheten att en terminal används, så kan detta vara antingen terminal 1, terminal 2 eller terminal 3.

Om det är terminal 1 som används, så är sannolikheten för detta 3/4.

Då används inte terminal 2 eller 3, vilket sker med sannolikheterna 1-2/3 = 1/3 respektive 1-1/2=1/2.

Oberoende händelser ger att sannolikheten att terminal 1 används men inte terminal 2 eller 3 är

3/4 * 1/3 * 1/2 = 3/24.

Det kan dock också vara så att terminal 2 används, men inte 1 eller 3. Eller att terminal 3 används, men inte 1 eller 2. Beräkna dessa två.

Summan av dessa tre sannolikheter blir den totala sannolikheten att $X=1$, dvs. att en av de tre terminalerna används, som alltså kan vara antingen terminal 1, 2, eller 3. Då har vi bestämt $P(X=1)$.

Gör nu samma för de andra utfallen.

Så vi har P_x(1)=3/24

P_x(2)=2/3*1/4*1/2=2/24

P_X(3)=1/2*1/4*1/3=1/24

Du läste nog lite för fort nu.

$P(X=1)$ är inte 3/24.

$P(X=1)$ är sannolikheten att antalet terminaler som används är lika med ett.

3/24 är sannolikheten att terminal 1 används och att terminalerna 2 och 3 inte används.

Det kan ju dock vara så att t.ex. terminal 2 används, men inte terminalerna 1 och 3.

Gustor skrev:

Du läste nog lite för fort nu.

$P(X=1)$ är inte 3/24.

$P(X=1)$ är sannolikheten att antalet terminaler som används är lika med ett.

3/24 är sannolikheten att terminal 1 används och att terminalerna 2 och 3 inte används.

Det kan ju dock vara så att t.ex. terminal 2 används, men inte terminalerna 1 och 3.

Jaha okej så hur ska beräkningarna vara då för P_X(1)? jag tänker du skrev att jag ska beräkna dessa. Vilka menar du? Menar du att man ska beräkna sannolikheten att terminal 2 används men inte (1) och (3) enligt oberoende händelse formeln?

Om terminal 2 ska användas men inte (1) och (3) så blir det 2/3*1/4*1/2=2/24

Om terminal 3 ska användas men inte (1) och (2)

Så blir det 1/2*1/4*1/3=1/24

Summan blir det 3/24+2/24+1/24=6/24=1/4. Är det så du menar?

Och för P_X(X=2) så är det ju 2/3 då terminal 2 används.

Oberoende händelser ger ju 

2/3*3/4*1/2=6/24

3/4*1/2*1/3=3/24

2/3*1/2*1/4=2/24

Summan blir 11/24

Så P_x(2)=11/24

Samma sak gör vi för P_x(X=3) 

Då bara terminal 3 används är det 1/2

oberoende händelse ger ju:

1/2*3/4*2/3=6/24

P_x(3)=6/24

Tillägg: 22 mar 2025 19:23

Ursäkta att det blev ett långt inlägg,men lyckades få fram det du var ute efter. 

Tillägg: 22 mar 2025 19:23

Ursäkta att det blev ett långt inlägg,men lyckades få fram det du var ute efter.