Beräkna sannolikhet vid dragning av kulor i lådor

Hej! Har fått en uppgift som jag tror mig räknat rätt på men blir lite fundersam då mitt svar blir ca 10 procentenheter högre än det man skulle kunna tänka sig.

Fråga är såhär:

Det finns 50 st lådor med 50 kulor i vardera. I låda nummer 2 finns det 2 vita och 48 svarta, i låda nummer 10 finns det 10 st vita kulor och 40st svarta kulor. Så att i låda nummer K finns det K vita kulor och 50-K svarta kulor. Först väljs en låda likformigt och sedan dras ur denna låda två kulor likformigt utan återläggning. Vad är då sannolikheten att man drar två vita kulor

Min instinktiva tanke var att räkna det genomsnittliga antalet vita och kulor och sedan göra en snabb beräkning därifrån.

$G e n o m s n i t t l i g a a n t a l e t v i t a k u l o r b o r d e v a r a 25, 5 . = > \frac{25.5}{50} * \frac{24.5}{49} = 0, 255 = 25, 5 % P [T v å v i t a] = 0, 255$

Efter lite diskussion med en annan valde jag att räkna på ett annat sätt
$P [V ä l j e r l å d a k] = \frac{1}{50} C h a n s a t t d r a e n v i t k u l a v i d d r a g 1 : \frac{k}{50} C h a n s a t t d r a e n v i t k u l a v i d d r a g 2 : \frac{k - 1}{49} D e t t a t i l l s a m m a n s b l i r d å {\sum \frac{1}{50}}_{k = 1}^{50} \frac{k}{50} \frac{k - 1}{49} = \frac{1}{50 * 50 * 49} (\sum_{k = 1}^{50} k^{2} - {\sum k)}_{k = 1}^{50} D e t t a b l i r e f t e r l i t e b e r ä k n i n g a r \frac{17}{50} = 0.34$
Min andra lösning känns mer gedigen och borde vara rätt men att det skiljer 10 procentenheter mellan svaren gör mig lite fundersam. Har det att göra med $k^{2}$ ? Den borde diffa lite då fallet k = 1 inte finns någon möjlighet att dra 2 vita kulor. Men att det är så stora skillnader förstår jag mig inte på.

Du har inte nämnt vilken sannolikhet som ska beräknas.

Marilyn skrev:
Du har inte nämnt vilken sannolikhet som ska beräknas.

Dåligt av mig, ändrar inlägget också. Man ska beräkna sannolikheten att man drar två vita kulor på två dragningar.

Jag håller med om att den andra beräkningen känns mer övertygande. Men jag måste fundera litet på vad felet med den första är. Återkommer.

Jag tror det är så här. I lådan med t ex 3 vita blir det stor förändring i sannolikheten att dra en vit när du plockat en vit, det går från 3/50 till 2/49, en minskning med nära 32 procent.

Men i lådan med säg 48 vita går sannolikheten från 48/50 till 47/49, en minskning med mindre än en promille. Därför fungerar det inte att betrakta medelvärdet så som du gjorde.

Ingen riktigt övertygande förklaring, jag skulle vilja hitta en analog situation där felet i första lösningen är mer uppenbart.

Man kan betrakta ett extremt exempel: vi har två lådor. I den ena finns 50 vita kulor och i den andra 50 svarta.

Laguna skrev:
Man kan betrakta ett extremt exempel: vi har två lådor. I den ena finns 50 vita kulor och i den andra 50 svarta.

Bra!

Visa spoiler

I så fall är förstås sannolikheten att dra två vita kulor exakt 1/2.

Om det är två lådor med 25 vita i bägge, så blir den mindre än 1/4.

Tack för den!

Jag ger mig på en förklaring.

Du kan ställa upp det såhär. Låt A vara händelsen att du drar två vita kulor. Du känner den betingade sannolikheten $\mathbb{P}(A|K=k)$ , där variabeln K alltså är antalet vita kulor. Den sannolikheten är $\frac{k(k-1)}{50\cdot 49}$ . Nu kan du räkna $\mathbb{P}(A)$ med hjälp av lagen om total sannolikhet (alltså, du marginaliserar ut variabeln K):

$\mathbb{P}(A) = \sum_{k=1}^{50} \mathbb{P}(K=k) \mathbb{P}(A|K=k) = \sum_{k=1}^{50} \frac{1}{50}\frac{k(k-1)}{50\cdot 49}$ , vilket är vad du räknat ut i din andra räkning.

Ett annat sätt att skriva detta är som $\mathbb{E}[\frac{K(K-1)}{50\cdot 49}] = \frac{1}{50\cdot 49}\left[\mathbb{E}[K^2] -\mathbb{E}[K]\right]$ .

I din första räkning, däremot, har du skrivit $\frac{\mathbb{E}[K]}{50}\frac{\mathbb{E}[K]-1}{49} = \frac{1}{50\cdot 49}\left[\mathbb{E}[K]^2 - \mathbb{E}[K]\right]$ . Men $\mathbb{E}[K]^2 \neq \mathbb{E}[K^2]$ , så dessa två uttryck är inte lika.

Tillägg: 24 sep 2023 20:22

Man kan dock notera att $Var(K) = \mathbb{E}[K^2] - \mathbb{E}[K]^2$ , så om $Var(K) = 0$ , dvs, det är lika många bollar i varje låda, så kommer $\mathbb{E}[K^2] = \mathbb{E}[K]^2$ och båda räkningarna ge samma resultat.

Svara

Visa senaste svar