Beräkna rotationsvolymen av en funktion

Jag tolkar uppgiften som att det omarkerde områdets rotationsare ska beräknas, inte det gula!

Bilden som är med i tråden är samma bild som visas i uppgiften. Hade bara problem att få över bilden till datorn. 

Då vill uppgiften att man ska beräkna rotationsviolymen av det markerade området. Vilket jag inte får till!

ok, 

då skulle jag välja skalmetoden och integrera i y-led från 0 till 3

Hur har du gjort, visa!

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

$\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^2{(4-x^2)}^2 dx - \mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1{(1-{\mathrm{x}}^2)}^{2}d\mathrm{x} = \frac{496\mathrm{\pi }}{15}$

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Jag tolkar det du säger att jag ska först integrera i y-led och sedan ta rotationen i x-led? Om sådant är fallet, hur går man till väga då? För kroppen ska rotera i x-led enligt uppgiften.

Wscub skrev:

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

$\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^2{(4-x^2)}^2 dx - \mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1{(1-{\mathrm{x}}^2)}^{2}d\mathrm{x} = \frac{496\mathrm{\pi }}{15}$

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Problemet med din uträkning är att det du subtraherar inte är det som du vill subtrahera.

Se bild. Du vill subtrahera volymen som skapas av område A men du subtraherar volymen som skapas av område B.

 Förstår du Yngves förklaring varför det blev fel med din metod?

Yngve skrev:

Wscub skrev:

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

$\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^2{(4-x^2)}^2 dx - \mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1{(1-{\mathrm{x}}^2)}^{2}d\mathrm{x} = \frac{496\mathrm{\pi }}{15}$

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Problemet med din uträkning är att det du subtraherar inte är det som du vill subtrahera.

Se bild. Du vill subtrahera volymen som skapas av område A men du subtraherar volymen som skapas av område B.

Problemet jag har är att jag inte förstår hur jag ska ställa upp en integral som beskriver volymen för A i figuren. Men borde inte den vara lika stor som volymen för figur B?

Nevermind på den fronten. Tror jag fick till en integral som beskriver det gulmarkerade området i min ursprunliga figur. Och för att tilläga fick jag till det nu. Tack så mycket för all hjälp. Stort tack. Tänker ändå att jag kan ta och förklara hur jag gick till väga för att få fram rätt svar om någon läser tråden i framtiden.

Rotationsvolymen av hela subtraherat från volymen mellan $(4-x^2)$ och y = 3.

$\mathrm{\pi }{\int }_{-2}^2{(4-{\mathrm{x}}^2)}^{2}d\mathrm{x} - (\mathrm{\pi }{\int }_{-1}^1{(4-{\mathrm{x}}^2)}^2 - 3^2 d\mathrm{x}) = \mathrm{\pi }\left(\frac{512}{15}\right) - \mathrm{\pi }\left(\frac{136}{15}\right) = \frac{376\mathrm{\pi }}{15}$

Tack igen för hjälpen! Korrigera gärna om något jag skrev var konstigt :)

Bra att du löste det.

Ett alternativt sätt att lösa uppgiften:

Notera först att området som roterar är symmetriskt runt x = 0

Vi kan därför nöja oss med att beräkna från 0 till 2 och sen dubblera volymen för att få hela.

JAg delar upp funktionen i två delar

från 0 till 1 har vi y = 3

från 1 till 2 har vi funktionen y = 4-x²

Hela volymen blir därför

$$\begin{gathered} 2\mathrm{\pi }*({\int }_0^1 3^2 d\mathrm{x} +{\int }_1^2{(4-{\mathrm{x}}^2)}^{2}d\mathrm{x} ) = \\ 2\mathrm{\pi }(9 + \frac{53}{15} ) = \frac{376\mathrm{\pi }}{15} \end{gathered}$$

Snyggt!

Ytterligare "förenkling": Den del av rotationskroppen som går från x = 0 till x = 1 är en liggande cirkulär cylinder med radie r = 3 och höjd h = 1.

Dess volym är därför $V_{cyl}=\pi r^2h=9\pi$.

(Vi sparar en integralberäkning)

Ett annat sätt som jag var inne på i inägg #2 är att integrera i y-led med skalmetoden.

om y = 4-x² så är 

$x=\sqrt{4-y}$

tänk dig att vi gör skal i form av ringar med radien  = y och bredden = 2x

 En sån ring får volymen $2\pi y2xdy$

hela kroppens volym blir då

${\int }_0^{3}2\pi y2xdy$

sätt sen in uttrycket för x som vi har tagit fram så får vi

${\int }_0^{3}2\pi y2\sqrt{4-y}dy =\frac{376\pi }{15}$