Beräkna projektionen

Eftersom längden i en viss riktning är samma som längden av projektionen i den riktningen så ska projektionsformeln vara relevant i alla fall. Visa hur du försökt. 

Hej Ida och välkommen till PluggAkuten.

(Längden av) den ortogonala projektionen av v i riktningen w beräknas enklast genom att vi normerar en riktningsvektor utmed w, $\frac{\vec{w}}{||\vec{w}||}$ och sedan bildar skalärprodukten mellan vektorerna

$\vec{v}\cdot\frac{\vec{w}} {||\vec{w}||}=\frac{(4,2)\cdot (5,9)}{||(5,9)||}=\frac{38}{\sqrt{106}}$

Tack så mycket! Struntar man i att multiplicera med $\underset{w}{\to }$ efter $\underset{w }{\to }·$$\frac{\underset{w}{\to }}{\overrightarrow{\left[\right[w\left]\right]}}$  i detta fall? 

Det de frågar efter i uppgiften är längden av vektorn, dvs en skalär storhet.

Tekniskt sett är den ortogonala projektionen också en vektor, för att beräkna vektorn bildar man

$\vec{v_L}= \frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{||\vec{w}||^2}\vec{w}$

Det kallas ibland projektionsformeln.

Den vektorn pekar då i $\vec{w}$-led. Det är längden av $\vec{v_L}$ vi har beräknat (vi låter alltså bli att multiplicera med w i slutet och behöver bara dela med längden av w istället för längden i kvadrat). Det är skillnad mellan längden av v projicerad på w (som är en skalär) och den vektorvärda ortogonala projektionen.  

Det vi beräknade var alltså den skalära storheten

$|\vec{v_L}|= \frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{||\vec{w}||}$

Som extra övning kan du beräkna $v_L$ med projektionsformeln och sedan beräkna absolutbeloppet (dvs längden) för att försäkra dig om att du får samma svar.

Metoderna är i princip samma sak, förutom att du förstör tecknet på projektionsriktningen när du tar absolutbeloppet av projektionen. Är vi bara intresserade av längden spelar det ingen roll.