Beräkna potensserie

Jag vet inte riktigt vad de menar för potensserier, men om man skriver ut fyra fem termer när p = 1 så ser man kanske en förenkling som gör serien till en bekant sådan.

(Jag antar nu att det faktum att det står $k=1$ och inte $n=1$ i summan bara är en felskrivning)

Om man deriverar Maclaurinserien för $e^x$ fås:

$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n-1}$

Sätter vi $x=1$ och inser att den första termen blir noll ramlar summan för $p=1$ ut.

För $p=2$ deriverar man båda led ytterligare en gång, men sedan krävs lite extra finurlighet.

Tack för hjälpen! Nu förstår jag hur det hänger ihop :)

Variant på lösning för $p=2$:

$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n-1}$

$\displaystyle xe^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n}$

$\displaystyle \frac{d}{dx}(xe^x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^{n-1}$

$\displaystyle x\frac{d}{dx}(xe^x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^{n}$

$\displaystyle f(x)=x\frac{d}{dx}(xe^x)=x\cdot(e^x+xe^x)=x(1+x)e^x$

Den sökta serien fås då genom att sätta $x=1$:

$\displaystyle f(1)=1\cdot (1+1)e^1=2e$

För $p=3$ blir det vidare:

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3}{n!}x^{n-1}$

$\displaystyle x\frac{d}{dx}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3}{n!}x^{n}$

$\displaystyle g(x)=x\frac{d}{dx}f(x)=x\cdot\frac{d}{dx}((x^2+x)e^x)=$

$\displaystyle x\cdot e^x\cdot (2x+1+x^2+x)=e^x(x^3+3x^2+x)$

Alltså fås serien genom att sätta in värdet $x=1$:

$\displaystyle g(1)=e^1\cdot(1+3+1)=5e$