5 svar
273 visningar
pixisdot behöver inte mer hjälp
pixisdot 70
Postad: 4 jan 2019 22:39

Beräkna potensserie

Uppgiften lyder: Beräkna (genom att använda en lämplig potensserie) summan av serien

k=1npn! för p = 1, 2 och 3.

Jag vet inte riktigt var jag skall börja, för vad kan man hitta för lämplig potensserie att använda här? En ledning till uppgiften är att derivera Maclaurinserien för ex, men när jag gör det vet jag inte hur jag skall återföra det på originalproblemet just för att jag hakar upp mig på vad jag kan sätta som xn. Funderade på att använda Stirlings formel, men känns som en återvändsgränd. Tacksam för hjälp!

Laguna Online 30482
Postad: 4 jan 2019 22:49

Jag vet inte riktigt vad de menar för potensserier, men om man skriver ut fyra fem termer när p = 1 så ser man kanske en förenkling som gör serien till en bekant sådan.

AlvinB 4014
Postad: 4 jan 2019 22:58

(Jag antar nu att det faktum att det står k=1k=1 och inte n=1n=1 i summan bara är en felskrivning)

Om man deriverar Maclaurinserien för exe^x fås:

ex=n=0xnn!\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

ex=n=0nn!xn-1\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n-1}

Sätter vi x=1x=1 och inser att den första termen blir noll ramlar summan för p=1p=1 ut.

För p=2p=2 deriverar man båda led ytterligare en gång, men sedan krävs lite extra finurlighet.

pixisdot 70
Postad: 4 jan 2019 23:03

Tack för hjälpen! Nu förstår jag hur det hänger ihop :)

tomast80 4245
Postad: 5 jan 2019 07:38

Variant på lösning för p=2p=2:

ex=n=0xnn!\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

ex=n=0nn!xn-1\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n-1}

xex=n=0nn!xn\displaystyle xe^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}x^{n}

ddx(xex)=n=0n2n!xn-1\displaystyle \frac{d}{dx}(xe^x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^{n-1}

xddx(xex)=n=0n2n!xn\displaystyle x\frac{d}{dx}(xe^x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^{n}

f(x)=xddx(xex)=x·(ex+xex)=x(1+x)ex\displaystyle f(x)=x\frac{d}{dx}(xe^x)=x\cdot(e^x+xe^x)=x(1+x)e^x

Den sökta serien fås då genom att sätta x=1x=1:

f(1)=1·(1+1)e1=2e\displaystyle f(1)=1\cdot (1+1)e^1=2e

tomast80 4245
Postad: 5 jan 2019 07:47 Redigerad: 5 jan 2019 07:51

För p=3p=3 blir det vidare:

ddxf(x)=n=0n3n!xn-1\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3}{n!}x^{n-1}

xddxf(x)=n=0n3n!xn\displaystyle x\frac{d}{dx}f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3}{n!}x^{n}

g(x)=xddxf(x)=x·ddx((x2+x)ex)=\displaystyle g(x)=x\frac{d}{dx}f(x)=x\cdot\frac{d}{dx}((x^2+x)e^x)=

x·ex·(2x+1+x2+x)=ex(x3+3x2+x)\displaystyle x\cdot e^x\cdot (2x+1+x^2+x)=e^x(x^3+3x^2+x)

Alltså fås serien genom att sätta in värdet x=1x=1:

g(1)=e1·(1+3+1)=5e\displaystyle g(1)=e^1\cdot(1+3+1)=5e

Svara
Close