Beräkna partikelns hastighet.

Det skulle vara mycket lättare att hjälpa dig om du lägger bilderna på rätt håll, så att de går att läsa utan att man slår knut på sig.

Sats 2.9 säger att du (förmodligen under vissa specificerade omständigheter, som att alla komponenter beror på samma variabel) kan "slå isär" en dubbelintegral till (i ditt fall) 3 dubbelintegraler.

På sista raden i första bilden har man alltså beräknat de tre dubbelintegralerna och satt in integrationsgränserna (från 1 till t) allt i samma steg och sedan förenklat.

Sats 2.9 säger helt enkelt att om vi ska integrera en vektorvärd funktion $\mathbf{A}$ över ett visst integrationsområde så kan man göra det genom att integrera komponenterna var för sig över samma område.

I satsformuleringen talar man om integraler över tvådimensionella områden (alltså dubbelintegraler), men det går precis lika bra att tillämpa satsen på endimensionella områden (alltså vanliga integraler) som man gör i exempel 2.5.

Jag kanske ska ta ett exempel så att det blir tydligare. Säg att vi har följande vektorvärda funktion:

$\mathbf{A}=(t,e^t,\dfrac{1}{t})$

Om vi nu vill integrera $\mathbf{A}$ över ett visst interval, säg $[3,4]$, ställer vi upp integralen:

$\displaystyle \int_3^4 \mathbf{A}\ dt$

$\displaystyle \int_3^4 (t,e^t,\frac{1}{t})\ dt$

Eftersom $\mathbf{A}$ är vektorvärd med tre komponenter är det lite svårt att integrera rakt upp och ned, men det är här satsen kommer in. Den sa ju att om vi hade en integral av en vektorvärd funktion är det samma sak som att integrera vektorns komponenter var för sig. Vi får alltså:

$\displaystyle (\int_3^4 t\ dt, \int_3^4 e^t\ dt, \int_3^4 \frac{1}{t}\ dt)$

Nu är det bara att integrera var och en av dessa integraler som vanligt.

I t^3 +2t -3, vad kommer -3 ifrån? 

Trean uppkommer av att man subtraherar primitiva funktionsvärdet för den nedre integrationsgränsen ($1$).

$x$-komponentens integral blir ju:

$\displaystyle \int_1^t 3u^2+2\ du$

(man byter integrandens variabel till $u$ för att inte blanda ihop med integrationsgränsen)

Den primitiva funktionen blir $u^3+2u$, alltså blir integralen:

$\displaystyle \int_1^t 3u^2+2\ du=[u^3+2u]_1^t=$ $t^3+2t-(1^3+2)=t^3+2t-3$

Smaragdalena skrev:

Det skulle vara mycket lättare att hjälpa dig om du lägger bilderna på rätt håll, så att de går att läsa utan att man slår knut på sig.

 Får man lov att tipsa om ett trevligt litet Chrome-tillägg som gör det möjligt att själv rotera bilder på en webbsida med några klick med musen?

https://chrome.google.com/webstore/detail/flip-this/donljlliiecjcagcenoeohjmabfegkph

Detta är så klart ingen ursäkt för att lägga in sneda bilder, men det gör det lite mer drägligt att läsa när det väl händer. :-)

Tack! :)