Beräkna p i följande funktion

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vad har ni för digitala hjälpmedel? Ni ska väl inte behöva programmera?

Ritat har jag gjort med en grafritare (digitalt hjälpmedel). Dock gav detta mig ingenting eftersom jag är intresserad av att finna den primitiva funktionen till y. Någon som har några förslag hur jag kan tackla detta problem? Eller finns det ett annat knep att bestämma p i funktionen?

Vill också poängtera att jag tyckte det var svårt att rita denna funktion, eftersom p är okänt.

Ja, det är lite krångligare att rita, eftersom man nte vet värdet på p. Man kan rita upp rotationskroppen för några olika p-värden så att man ser hur den ser ut.

Vad är det för funktion du inte hittar någon primitiv funktion till, d v s vad är det du vill integrera?

Det bästa jag kan åstadkomma är en numerisk integration och prova mig fram till rätt p (det finns förstås program som provar sig fram utan att jag behöver göra det själv också).

Nu lekte jag med https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ lite grann. Den hittar ingen explicit primitiv funktion.

Vad är det för funktion som du inte hittar en primitiv funktion till? Vi kan inte hjälpa dig om du inte talar om vad det är du försöker göra.

Hittar jag den primitiva funktionen till

y=1/(1+(x ln(x))^p så tänkte jag att jag kan lösa integralen och därefter bestämma p. Men detta kanske inte är den rätta vägen att gå för att lösa uppgiften?

Det är i alla fall inte den funktionen du behöver integrera för att lösa den här uppgiften - den kan inte handla om en kropp som är rotationssymmetrisk runt x-axeln. Tänker du använda skivmetoden eller skalmetoden?

Okej vilken funktion måste jag integrera? Jag tänkte mig skivmetoden.

Vilken är radien för skivan vars x-värde är x? Vilken är skivans area? Vilka är integrationsgränserna?

Jag börjar se hur du vill att jag ska tänka. Däremot vet jag inte hur jag ska bära mig åt för att bestämma snittytans raide och area. Jag vet att B(x)=(f(x))^2. Men detta hjälper mig inte så mycket?

Då behöver du rita. Välj ett värde på p, vilket som helst, och rita upp rotationskroppen.

Tanken här är nog att du ska låta din grafräknare beräkna integralen och sedan successivt gissa dig fram till $p$-värdet som ger rätt volym.

Allt du behöver göra är alltså är ställa upp integralen för rotationsvolymen. När det gäller rotationsvolymer är det A och O att ha en skiss hur området ser ut. Ungefär så här kommer rotationsområdet att se ut:

Vi kan få fram volymen genom att integrera arean av en tvärsnittscirkel av volymen:

Du kan ganska enkelt ställa upp integralen när du inser att radien till cirkeln är samma sak som höjden på kurvan, d.v.s. $y$-värdet.

Okej tack så mycket för förklaringarna, nu börjar jag förstå. Har bara en sista fråga. Spelar det någon roll var jag skär snittet i rotationskroppen? 

Nej, eftersom du räknar generellt och höjden beror av $x$ kommer storleken på cirkeln att förändras när du flyttar position på $x$-axeln.

Man väljer alltså egentligen inte en specifik punkt och skär rotationsvolymen, utan man räknar med en allmän punkt på $x$-axeln för att sedan kunna integrera uttrycket.

Komponenten snittas upp i flera stycken lika tunna skivor med tjocklek $dx$; varje skiva ses som en mycket platt cirkulär cylinder vars radie ($y(x)$) beror på skivans position ($x$) längs x-axeln. Skivans volym är Basytan*Höjden som är

    $\pi (y(x))^2 \cdot dx$.

Volymen för hela komponenten får du genom att addera (integrera) de tunna skivornas volymer.

    $Volym = \int_{x=1}^{2} \pi (y(x))^2 dx$.

Du vet att $Volym = 2$ och att $y(x) = \frac{1}{1+(x\ln x)^p}$ och det gäller att bestämma parametern $p$ så att

    $2/\pi = \int_{x=1}^{2} \frac{1}{(1+(x\ln x)^p)^2}dx$.

Genom att prova sig fram på lämpligt sätt finner man att parametervärdet $p = 3,8448$ ger den önskade volymen.