beräkna och förenkla komplexa

Maremare skrev:

jag ska beräkna och förenklar ${(1-i\sqrt{3})}^8$ jag gjorde såhär

$$\begin{gathered} (2{(\cos \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\right)+i\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\right))}^8 \\ 256*(\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)+i\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right) \end{gathered}$$

men hur vet man om/när man är klar?

Om du ska svara i polär form så är du klar.

Om du ska svara i rektangulär form så får du beräkna cosinus- och sinusvärdena.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

jag ska beräkna och förenklar ${(1-i\sqrt{3})}^8$ jag gjorde såhär

$$\begin{gathered} (2{(\cos \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\right)+i\sin \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{3}\right))}^8 \\ 256*(\cos \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right)+i\sin \left(\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\right) \end{gathered}$$

men hur vet man om/när man är klar?

Om du ska svara i polär form så är du klar.

Om du ska svara i rektangulär form så får du beräkna cosinus- och sinusvärdena.

okej det framgår ej i uppgiften, men om vi nu ska göra det till rektangulära form, hur vet man om dessa värden är exakta former av sin och cos?

man får alltså inte använda miniräknare

4pi/3 är en multipel av en standardvinkel.

Det förväntas man kunna inse, om inte annat så med hjälp av enhetscirkeln

Ture skrev:

4pi/3 är en multipel av en standardvinkel.

Det förväntas man kunna inse, om inte annat så med hjälp av enhetscirkeln

vad innebär multipel ?

Maremare skrev:

Ture skrev:

4pi/3 är en multipel av en standardvinkel.

Det förväntas man kunna inse, om inte annat så med hjälp av enhetscirkeln

vad innebär multipel ?

I detta fall 4 gånger så stort som pi/3.

rent generellt:  https://sv.wikipedia.org/wiki/Multipel

Ture skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Ture skrev:

4pi/3 är en multipel av en standardvinkel.

Det förväntas man kunna inse, om inte annat så med hjälp av enhetscirkeln

vad innebär multipel ?

I detta fall 4 gånger så stort som pi/3.

rent generellt:  https://sv.wikipedia.org/wiki/Multipel

okej men förstår ej vad jag ska göra med detta? ska jag dividera $\raisebox{1ex}{$\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$?

eller ska jag dra bort 2pi från $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$?

i så fall får jag $\frac{-2\mathrm{\pi }}{3}$

Med hjälp av standardvinklarna och enhetscirkeln kan man få fram exakta värden för sin och cos  4pi/3, det borde du ha lärt dig i tidigare mattekurser.

Om inte, rita in 4pi/3 i enhetscirkeln och fundera lite grann. Dina funderingar -2pi/3 är inte fel, det är ju samma vinkel.

Ture skrev:

Med hjälp av standardvinklarna och enhetscirkeln kan man få fram exakta värden för sin och cos  4pi/3, det borde du ha lärt dig i tidigare mattekurser.

Om inte, rita in 4pi/3 i enhetscirkeln och fundera lite grann. Dina funderingar -2pi/3 är inte fel, det är ju samma vinkel.

mina tidigare mattekurser är från gymnasiet som var för över 10 år sen :P

men om -2pi/3 är samma vinkel borde ju det vara utgångspunkten?

-2pi/3: för sin blir det $-\frac{\sqrt{3}}{2}$och för cos 1/2

och så multiplicerar man bägge med 256, är det rätt ute?

Maremare skrev:

mina tidigare mattekurser är från gymnasiet som var för över 10 år sen :P

men om -2pi/3 är samma vinkel borde ju det vara utgångspunkten?

-2pi/3: för sin blir det $-\frac{\sqrt{3}}{2}$och för cos 1/2

och så multiplicerar man bägge med 256, är det rätt ute?

-2pi/3 och 4pi/3 är inte samma vinkel.

Däremot är sinus- och cosinusvärdena desamma för de båda vinklarna.

Du tänker rätt men har fel tecken på cosinusvärdet.

Rita in det hela i enhetscirkeln. Då ser du att du hamnar i tredje kvadranten, vilket innebär att både sinus- och cosinusvärdet är mindre än 0.

Jag föreslår att du sedan behåller faktorn 256 utanför parentesen.

Jag brukar lösa problem av detta slag så här:

Först ritar jag ett komplext talplan så jag fysiskt ser var talet $z=1-i\sqrt{3}$ ligger:

Det hjälper mig att bestämma den polära formen av z, dvs jag ska överföra den rektangulära formen

$z=1-i\sqrt{3}$ till $z=r\cdot e^{i\theta}$. Med vanlig trigonometri inser jag snabbt (kanske du också ...)

att $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$. Vidare: $r=|z|=2$, eller hur? Härav:

$z=2\cdot e^{-i \pi/3}$.

Dags så att bestämma $z^8$. Till detta brukar jag de Moivres formel:

$z^8=\left(2\cdot e^{-i \pi/3}\right)^8=2^8\cdot e^{-i 8\pi/3}$. Betr den erhållna vinkeln: Vi kan då skala bort en heltalsmultipel av  hela varvet, varav:

$z^8=2^8\cdot e^{-i 2\pi/3}=2^8\cdot(\cos (-\dfrac{2\pi}{3})+i\sin (-\dfrac{2\pi}{3}))$, som kan  omformas till

$2^8\cdot(\cos (\dfrac{2\pi}{3})-i\sin (\dfrac{2\pi}{3}))$. Här är vi färdiga, men traditionen bjuder att vi, där så är lämpligt (t ex när vi har standardvinklar), svarar rektangulärt:

$z^8=2^8\cdot (-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2})=(-2^7)\cdot (1+i \sqrt{3})$, och vi är klara.