Beräkna normal

Jag har letat på nätet, i läromedlet, och gått igenom alla föreläsningsanteckningar men jag kan inte hitta hur man beräknar normalen till en yta, en generell metod, typ en formel. Kursen är Flervariabel och det är i sammanhanget av att man beräknar normalen till ytor för att man behöver normalen i beräkningar av olika typer av integraler.

Så är det någon som vet hur man beräknar normalen till en kurva?

Det jag har att gå på är att att jag tror att man ska ta $\frac{\frac{\partial z}{\partial x} \times \frac{\partial z}{\partial y}}{|\frac{\partial z}{\partial x} \times \frac{\partial z}{\partial y}|}$ för att få den normerad, men jag tycker det är svårt för ofta finns inte något z med och då vet jag inte hur jag ska göra. Är även osäker på om det där är normalen eller om det är areaelementet dS, jag är helt enkelt aningen förvirrad.

Och t ex till cylindern x^2 + y^2 = a^4, hur hittas normalen till den så att man vet vilket håll den pekar åt?

Menar du normalen till mantelytan? Det finns två normaler i varje punkt, som pekar åt motsatta håll.

En normal är en vektor med en riktning som är vinkelrät mot en yta (eller ibland en linje).

Det är viktigt att förstå att normalen i de flesta fall kan peka åt två motsatta håll. Om $\mathrm{n}$ är en normal till en yta så är också $-\mathrm{n}$ normal till samma yta. Det beror på att de flesta ytor du stöter på är dubbelsidiga.

En normal kan vara av vilken längd som helst och fortfarande få kallas normal.

Men när du använder en ytnormal i en ytintegral måste den ha rätt längd (normering )och rätt riktning. Annars får naturligtvis integralen fel värde.

Om du har parametriserat en yta med två variabler, säg $\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)$ så ges en ytnormal med rätt längd för ett vektoriellt ytelement av

$\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{\partial\mathbf{r} }{\partial u }\times \frac{\partial\mathbf{r} }{\partial v }\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

Om du dessutom valt dina koordinater i ett högersystem i uppräkningen u,v blir ytan positivt orienterad.

Svara