beräkna när plantorna är hälften.

Hur har du fått fram just det uttrycket?

Jag skulle börja med att göra en tabell där jag fyller i hur många växter det finns år 0, år 1, år 2, år 3 och så vidare. Så småningom borde jag se hur många växter det finns efter x år. När jag har fått fram detta uttryck, sätter jag det lika med 15 000 och beräknar x.

Jag vet inte om det är meningen att ni ska kunna få fram ett slutet uttryck för antalet växter ett visst år n, men det går att göra med en ganska enkel ansats.

Hej!

Antalet kryddväxter som finns på trädgårdsmästeriet förändras över tid.

År 0: $30000$ stycken växter.

År 1: $0.90\cdot 30000 + 1000 = 28000$ stycken växter.

År 2: $0.90\cdot 28000 + 1000 = 26200$ stycken växter.

År 3: $0.90 \cdot 26200 + 1000 = 24580$ stycken växter.

År 4: ...

Bra ansats för att lösa uppgiften! Alltid bra att försöka analysera, mest övergripande, hur det förändras.

Det som krävs för att lösa uppgiften är något man inte lär sig i ma5. För att lösa den behöver man nämligen känna till differensekvationer, något som kommer först vid högskole- eller universitetsstudier. Jag tror att de som konstruerat uppgiften tänkt lite fel - om den nu är tänkt för ma5? Man kan inte lösa den med en differentialekvation, vad som däremot tas upp i ma5.

Du kan få fram följande uttryck med hjälp av en differensekvation:

$20 000 \times 0.9^n + 10 000$

Om  du vill, kan du pyssla lite med uttrycket och logiskt motivera varför det är ett rimligt uttryck med hjälp av gränsvärden, ev. max-, minivärden etc. Men eftersom uppgiften inte går att lösa med de verktyg som ma5 ger, går det nog inte riktigt att kräva mer än det.

Jag skulle säga att det räcker med Ma1 för att lösa uppgiften, om man börjar som Albiki gjorde och fortsätter tabellen tillräckligt långt, alternativt att man prövar sig fram.

Dessuton är inte $20000\cdot0,9^n+10000$ en ekvation av något slag, eftersom det inte innehåller något likhetstecken.

Smaragdalena skrev:

Jag skulle säga att det räcker med Ma1 för att lösa uppgiften, om man börjar som Albiki gjorde och fortsätter tabellen tillräckligt långt, alternativt att man prövar sig fram.

Dessuton är inte $20000\cdot0,9^n+10000$ en ekvation av något slag, eftersom det inte innehåller något likhetstecken.

Ursäkta sen återkoppling men jag vill ge ett slutgiltigt, korrekt svar så ingen förvirring uppstår.

Visst kan man lösa den på det vis du presenterar men det ger ingen större förståelse för varken problemet eller matematik i stort. Att "pröva sig fram" ända till dess att rätt svar ges skulle förvisso ge rätt svar men skulle kullkasta det som faktiskt ger något i matematik, för att inte nämna vad det skulle göra med det falnande intresset för matematik.

Nästa sak stämmer - det är ingen ekvation, inte något som påståtts heller. Det är däremot ett uttryck som ges av lösning med differensekvation.

Hoppas ändå uppgiften finnes av intresse.

Albiki skrev:

Hej!

Antalet kryddväxter som finns på trädgårdsmästeriet förändras över tid.

År 0: $30000$ stycken växter.

År 1: $0.90\cdot 30000 + 1000 = 28000$ stycken växter.

År 2: $0.90\cdot 28000 + 1000 = 26200$ stycken växter.

År 3: $0.90 \cdot 26200 + 1000 = 24580$ stycken växter.

År 4: ...

Beräkningarna visar på ett mönster: Om det finns $v(n)$ stycken växter år $n$ så finns det såhär många växter nästa år:

    $v(n+1) = 0.90 \cdot v(n) + 1000$ där $n \geq 1$. 

Om man går ett år tillbaka i tiden kan man skriva 

    $v(n+1) = 0.90 \cdot \{0.90\cdot v(n-1)+1000\} + 1000$

och detta kan förenklas till 

    $v(n+1) = 0.90^2 \cdot v(n-1) + 1000 \cdot (1+0.90).$

Går man ytterligare ett år tillbaka i tiden till tidpunkten $n-2$ kan man skriva 

    $v(n+1) = 0.90^2 \cdot \{0.90 v(n-2) + 1000\} + 1000\cdot(1+0.90)$

som kan förenklas till 

    $v(n+1) = 0.90^3 \cdot v(n-2) + 1000\cdot (1+0.90+0.90^2).$ 

Nu kan man se ett tydligt mönster som visar hur $v(n+1)$ hänger ihop med $v(1)$ och med tidpunkten $n+1$:

Problemet som ska lösas är att finna den tidpunkt $n$ när $v(n) = 0.5\cdot v(0)$, vilket betyder att man ska lösa ekvationen