6 svar
483 visningar
bigO behöver inte mer hjälp
bigO 65
Postad: 2 aug 2019 17:18

Beräkna moment i knäckande balk

Hej, har suttit med denna uppgift ett tag och inser att jag inte har någon aning om var man ens ska börja. Hur friläggs den och hur använder man eulerfallet i detta fall? Var kommer λoch de trigonometriska uttrycken i facit ifrån? Hittar ingenting i min kurslitteratur som förklarar kring detta.

Facit:

SaintVenant 3917
Postad: 2 aug 2019 18:52

Lambda är något som kallas fri knäcklängd och borde beskrivas i formelsamlingen. Du kan googla på det och se om du blir klok. Jag har inte tillgång till formelsamling just nu men återkommer senare ikväll eller imorgon.

bigO 65
Postad: 2 aug 2019 19:06
Ebola skrev:

Lambda är något som kallas fri knäcklängd och borde beskrivas i formelsamlingen. Du kan googla på det och se om du blir klok. Jag har inte tillgång till formelsamling just nu men återkommer senare ikväll eller imorgon.

Tack hittade det till slut i en bok tillsammans med uttrycket cos(λL)=0. som är "villkoret för förekomsten av en utböjd jämviktsform". Är lite osäker på exakt vad det betyder och på vilket sätt de implementerade detta i uppgiften dock

bigO 65
Postad: 3 aug 2019 18:37
bigO skrev:
Ebola skrev:

Lambda är något som kallas fri knäcklängd och borde beskrivas i formelsamlingen. Du kan googla på det och se om du blir klok. Jag har inte tillgång till formelsamling just nu men återkommer senare ikväll eller imorgon.

Tack hittade det till slut i en bok tillsammans med uttrycket cos(λL)=0. som är "villkoret för förekomsten av en utböjd jämviktsform". Är lite osäker på exakt vad det betyder och på vilket sätt de implementerade detta i uppgiften dock

Har gjort ett par andra uppgifter om knäckekvationer och liknande så är mer bekant med knäcklängd nu. Är dock fortfarande osäker på hur man ska lösa denna uppgift

SaintVenant 3917
Postad: 4 aug 2019 22:54

Jag skrev fel häromdagen, λ betecknar något som kallas slankhetstal vilket är relevant för dimensionering av balkar vid knäckningsrisk. Du kan läsa mer här: Knäckning

I detta fall har de valt att kalla en konstant från elastiska linjens ekvation för λ vilket inte bara är märkligt utan även olyckligt. Hursomhelst, om vi tittar på ditt fall vet vi följande från elastiska linjens ekvation:

w''(x)=-M(x)EI

Från detta kan vi härleda följande differentialekvation för vårt fall med excentricitet:

w''+λ2w=λ2e          där λ2=P/EI.

Denne differentialekvation kan ha följande (icke-generella) lösning:

w=Acos(λx)+e

Vi bestämmer genom randvillkoret w(L)=0 integrationskonstanten som:

A=-ecos(λL)

Vilket slutligen ger följande uttryck för utböjningen av strävan som:

w(x)=-ecos(λx)cos(λL)-1

Vilket efter derivering ger:

w'(x)=λesin(λx)cos(λL)w''(x)=λ2ecos(λx)cos(λL)

Vilket slutligen ger:

M(x)=-EIw''(x)=-EIλ2ecos(λx)cos(λL)

Vi vet att λ2=P/EI och vi vet att P=π2EI16L2(givet i uppgiften) så vi får:

λL=PEIL=π2EI16L2EIL=π4

Vilket slutligen ger:

M(x)=-2Pecos(λx)

bigO 65
Postad: 4 aug 2019 23:17

Tack så mycket, bra förklarat! Undrar dock över tre grejer.

1. Hur härledde du differentialekvationen? Från eulerfall ett hittar jag bara w'''(L)+λ2w'(L)=0

2. Är det en allmän lösning till differentialekvation som man ska kunna eller bör man veta hur man skapar lösningar till allt möjligt?

3. w(L) är väl utböjningen i toppen av balken? Hur kan den vara lika med noll? Och varför blir det fel om man skulle använda w(0)=0 ?

SaintVenant 3917
Postad: 5 aug 2019 03:48 Redigerad: 5 aug 2019 04:07

1. När jag snittade såg jag att:

M(x)=P(w-e)

Detta gav sedan:

w''=-P(w-e)EI=-λ2w+λ2e

2. Jag satt mest och trixade med ansatser tills någon passade utan att tänka vidare över det. Om vi ansätter generell lösning bör vi justera vår differentialekvation en aning (eftersom vi har tre starka randvillkor) och istället ha:

M(x)=P(w-C)

w''+λ2w=λ2C

där C är en okänd konstant som kommer styra vår partikulärlösning. Detta ger följande allmänna lösning:

w=Acos(λx)+Bsin(λx)+Cw'=-Aλsin(λx)+Bλcos(λx)w''=-Aλ2cos(λx)-Bλ2sin(λx)

Vi har tre randvillkor:

w(0)=0w'(0)=0M(L)=-Pe

Den första och andra ger enkelt:

A=-CB=0

Det tredje ger:

M(L)=EIAλ2cos(λL)=-Pe   A=-2e

Så vi har slutligen:

C=2e

Detta ger samma svar på uppgiften liksom den föregående ansatsen:

M(x)=-2Pecos(λx)

3. Jag valde en ganska knasig ansats som vände på koordinaten och utgick från utböjningens maximum, se ovan för en mer proper variant.

Svara
Close