Beräkna min och max (half matte, half förtvivlan)

Fråga lyder: vilket är det minsta värde på a för vilket olikheten $2 \ln x - 3 x^{2} \leq 7 x + a$ är uppfylld för alla $x>0$

Jag tolkar det som nåt i den här anda: vi har en funktion som har uppenbarligen en minimipunkt för positiva $x \in R$

Så jag tänkte flytta alla tal man har kontroll på, på vänstra sidan för att titta hur låg gick funktionen. Och sätta detta värde i $f(x)$ , och det borde ge mig a.

$f (x) = 2 \ln (x) - 3 x^{2} - 7 x f' (x) = \frac{2}{x} - 6 x - 7 \frac{2}{x} - 6 x - 7 = 0 - 6 x^{2} - 7 x + 2 = x^{2} + \frac{7}{6} x - 2$

Och detta ger:

$- \frac{7}{12} \pm \sqrt{\frac{49}{144} + \frac{1}{3}} - \frac{7}{12} \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 49 + 144}{3 \cdot 144}} - \frac{7}{12} \pm \sqrt{\frac{147 + 144}{3 \cdot 144}} = - \frac{7}{12} \pm \sqrt{\frac{291}{432}}$

Är det verkligen meningen att jag tar ln på $- \frac{7}{12} + \sqrt{\frac{291}{432}}$ . Jag kan säga att det är typ 17/21, men inte ta log på den. Kursen görs utan miniräknare. Är det rätt vägg att tolka problem?

Raden som börjar med $-6x^2$ är fel - dels missbrukar du likhetstecknet, dels glömmer du att dela 2 med 6.

Om du behåller nämnaren 144 under rottecknet blir det lite enklare - 97 är i alla fall lite bättre än 291.

Hej!

Låt $f$ beteckna funktionen

$\displaystyle f(x)=2\ln x -3x^2-7x\ , \quad x\in(0,\infty).$

Funktionens värdemängd betecknas $V_f$ . Uppgiften handlar om att finna det kortaste halvöppna intervallet $(-\infty,a]$ sådant att snittmängden $V_f\cap (-\infty,a]$ är lika med hela värdemängden.

Funktionens derivata $f'(x)=\frac{2}{x}-6x-7$ är positiv på det öppna intervallet $(0,b)$ och negativ på intervallet $(b,\infty)$ , där $f'(b)=0$ ; på intervallet $(0,b)$ är funktionen strängt växande (från $-\infty$ upp till $f(b)$ ) och på intervallet $(b,\infty)$ är funktionen strängt avtagande (från $f(b)$ ner till $-\infty$ )). Funktionens värdemängd är därför lika med det halvöppna intervallet

$\displaystyle V_f= (-\infty,f(b)]$ .

Smaragdalena skrev:
Raden som börjar med $-6x^2$ är fel - dels missbrukar du likhetstecknet, dels glömmer du att dela 2 med 6.
Om du behåller nämnaren 144 under rottecknet blir det lite enklare - 97 är i alla fall lite bättre än 291.

ja, just det, jag gjorde det rätt på pappret, men slarvade när jag skrev på PA. jag tar upp uppgiften imorgon...

Albiki skrev:
Hej!
Låt $f$ beteckna funktionen
$\displaystyle f(x)=2\ln x -3x^2-7x\ , \quad x\in(0,\infty).$
Funktionens värdemängd betecknas $V_f$ . Uppgiften handlar om att finna det kortaste halvöppna intervallet $(-\infty,a]$ sådant att snittmängden $V_f\cap (-\infty,a]$ är lika med hela värdemängden.
Funktionens derivata $f'(x)=\frac{2}{x}-6x-7$ är positiv på det öppna intervallet $(0,b)$ och negativ på intervallet $(b,\infty)$ , där $f'(b)=0$ ; på intervallet $(0,b)$ är funktionen strängt växande (från $-\infty$ upp till $f(b)$ ) och på intervallet $(b,\infty)$ är funktionen strängt avtagande (från $f(b)$ ner till $-\infty$ )). Funktionens värdemängd är därför lika med det halvöppna intervallet
$\displaystyle V_f= (-\infty,f(b)]$ .

så imorgon utreder vi vem detta mysteriösa "b" är...

Nu har vi identitet på b. Nämligen:

Tackar!

Svara

Visa senaste svar