Beräkna max och minvärde över en cirkelskiva

Hej!

Uppgiften är att beräkna max- och minvärden för

$f (x, y) = \frac{4}{x^{2} + y^{2} + 1} + 2 x y$ där $\frac{1}{5} \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ .

Jag har hittat ett maxvärde på den yttre randen genom att parametisera den till $x = 2 \cos t$ och $y = 2 \sin t$ och sedan räkna ut $f (2 \cos t, 2 \sin t)$ vilket blev $\frac{4}{5} + 4 \sin (2 t)$ . Jag satte sedan derivatan av denna funktion lika med 0 och hittade då punkten $(\frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}})$ som gav upphov till maxpunkten $\frac{24}{5}$ .

Jag följde samma recept på den inre randen där jag satte $x = \frac{1}{\sqrt{5}} \cos t$ och $y = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin t$ och hittade då punkten $(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}})$ som gav funktionsvärdet $\frac{53}{15}$ . Om jag räknat rätt eller inte vet jag inte men det är i varje fall inte den minpunkt vi söker.

Återstår då mängden däremellan. Partialderivering med avsende på $x$ blir $2 y - \frac{8 x}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2}}$ och med avseende på $y$ , $2 x - \frac{8 y}{{(x^{2} + y^{2} + 1)}^{2}}$ . Om vi sätter dessa båda uttryck lika med noll innebär det att de då också är lika med varandra och därmed att $x = y$ . (Det är möjligt att det finns fler lösningar men jag vet inte hur jag ska hitta dem.)

Vi kan då byta ut till exempel $y$ mot $x$ och vi får då $2 x - \frac{8 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ med de reella lösningarna $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = y$ . Således har vi hittat punkten $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ som ger upphov till funktionsvärdet $3$ .

Tyvärr är inte heller detta det sökta värdet så nu undrar jag om jag har räknat fel någonstans eller om det är något annat jag missat?

Så rätt svar på maxpunkten är inte 24/5? Trean förkastas ju eftersom denna är större. Jag håller med om hur du tänker så det kanske är slarvfel någonstans

jakobpwns skrev:
Så rätt svar på maxpunkten är inte 24/5? Trean förkastas ju eftersom denna är större. Jag håller med om hur du tänker så det kanske är slarvfel någonstans

Maxpunkten $\frac{24}{5}$ är rätt. Det är bara minpunkten jag inte hittar.

Ah jag läste fel. Men ser nu att $(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}})$ är ett orimligt svar, ty denna punkt ej ligger på den mindre cirkelns rand.

För lilla fick jag envarrefunktionen $f (t) = \frac{10}{3} + \frac{1}{5} \sin (2 t)$ , fick du samma?

jakobpwns skrev:
Ah jag läste fel. Men ser nu att $(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}})$ är ett orimligt svar, ty denna punkt ej ligger på den mindre cirkelns rand.

Ja det har du ju rätt i, missade det...

jakobpwns skrev:
För lilla fick jag envarrefunktionen $f (t) = \frac{10}{3} + \frac{1}{5} \sin (2 t)$ , fick du samma?

Jäpp

Dess minsta värde är dock större än 3. Kanske blivit något fel i sista beräkningen också

Jag tänkte att derivatan blir $\frac{2}{5} \cos 2 t$ och för att det ska bli noll måste $2 t = \frac{π}{2} + k 2 π$ dvs $t = \frac{π}{4} + k π$ . Det ger $\cos t = \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Nja den ser ganska vettig ut den med. Två till lösningar är $(- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$ och $(0, 0)$ men den ena ger samma svar (3) och den andra ger 4, som inte heller kan vara rätt.

eller vänta... är rätt svar $- \frac{16}{5}$ ?

Den du räkna ut allra först, som du fick max ifrån, borde också ge min.

Precis, 4 är ju mindre än 24/5 så det skulle ha kunnat fungera men tyvärr lyser det rött i rutan när jag prövar det...

jakobpwns skrev:
eller vänta... är rätt svar $- \frac{16}{5}$ ?

Den du räkna ut allra först, som du fick max ifrån, borde också ge min.

Fantastiskt! Det är rätt! Tusen tack! Men hur kom du fram till det? Derivatan i den funktionen var $8 \cos (2 t)$ som gav nollställe vid $t = \frac{π}{4}$ och $t = \frac{5 π}{4}$ där med. Minustecknet i $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ försvinner ju när man sätter in det i funktionen?

sinus och cosinus är ganska trevliga, de kan max bli 1 och minst -1 som du kanske vet. Jag använde det. När sin(2t)=-1 får vi 4/5 - 4

Såklart! Tack att du räddade det lilla hår jag har kvar efter allt slitande...;-)

Det jag lärde mig här var att det inte alltid är nödvändigt att leta nollställen (såvida inte punkterna efterfrågas förstås) utan själva max- eller minvärdet kan hittas mycket enklare!

Nu blir jag förstås nyfiken på hur man hittar vid vilken punkt $- \frac{16}{5}$ inträffar. Men det problemet får nog vänta till jag kommit längre i studierna... Återigen stort tack!

Om du räknar ut vilket värde på t som gör att sin(2t) blir -1 och sen stoppar in det i dina uttryck för x och y får du nog dem! Men sen finns det ju också Lagranges multiplikatormetod som e bra, med den slipper man parametriseringar :)

jakobpwns skrev:
Om du räknar ut vilket värde på t som gör att sin(2t) blir -1 och sen stoppar in det i dina uttryck för x och y får du nog dem! Men sen finns det ju också Lagranges multiplikatormetod som e bra, med den slipper man parametriseringar :)

Ja, såklart! Jag har nog suttit för länge nu, ser inte skogen för bara trän... Punkterna detta inträffar blir $(- \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}})$ och $(\frac{2}{\sqrt{2}}, - \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

Misstänker att de försvann ur beräkningarna när jag gjorde omskrivningen $8 \sin t \cos t = 4 \sin 2 t$ ...

Monsieur Lagranges namn har jag hört men inte lärt mig om än. Ser fram emot det med tillförsikt!

Svara

Visa senaste svar